punti, che son comuni ad una serie lineare g r m e ad una involuzione di ordine 

 n ^> r e genere ti , sopra una curva di genere p . Il detto numero, nel caso 

 r = n — 1 che a noi interessa, vale precisamente 

 m — (n — 1) — p -J- nrr . 



Qui però si noti che la serie y n assegnata non è, in generale, una invo- 

 luzione, perchè l' indice v di essa può superare l'unità. Ma, come osserva il 

 Segre nel secondo dei lavori citati, la formola scritta si applica anche a 

 questo caso, purché si riguardi la curva sostegno / come mpla, con ó punti 

 di diramazione, cioè si operi sulla curva K , anziché sulla f . Si tien conto di 

 ciò, ponendo nella formola mv al posto di m , e P al posto di p. Con queste 

 sostituzioni, e ricordando che nella nostra questione è m = n — \-\-p, si 

 ottiene 



s = v(n — 1 -\-p) — (n — 1) ■ — P -\~ utc , 

 ossia, in virtù delle (5), 



(6) , = r(n+^-l)-| = ^-f-7*-l)-|. 



Ma deve essere z ^ 0 , dunque 



(7) d^2v(n + p — 1), 



disuguaglianza che fissa un limite superiore a d . 



Interessa esaminare la ipotesi che il limite venga raggiunto. Allora 

 è z = 0 , quindi una serie lineare gZ-l+p sopra f non contiene, in generale, 

 nessun gruppo della serie yt • Ma se quella serie è costruita in guisa da 

 contenere un gruppo r n di y n (il che è possibile in oo?- 1 modi), la serie 

 stessa contiene ogni gruppo di y„ . Questa proprietà può anche enunciarsi 

 così. Si costruisca sopra / una qualsiasi serie lineare g',l +p ; se un punto a 

 di f è tale , che la g" t z\+ p residua di a contenga il gruppo r n , il punto a 

 ha la stessa proprietà rispetto ad ogni altro gruppo di y n . Ora di punti 

 come a ve ne sono p , formanti il gruppo G p residuo di T n rispetto a g'; i+p ; 

 quel gruppo G p sarà dunque residuo di ogni altro gruppo di y n . E, in con- 

 seguenza, y n apparterrà alla serie lineare g n , che è residua di G p rispetto 

 a gZ+p. 



Risulta di qua che, se d raggiunge il limite superiore, la y n è conte- 

 nuta in una serie lineare d'ordine n . Ed è pur vera la proprietà inversa, 

 come si vede, sia invertendo il ragionamento che precede, sia mediante sem- 

 plici considerazioni dirette. 



nè al Restsatz, nè al Reductionssatz. Ed in una Nota successiva (Rendic. della R. Accad. 

 dei Lincei, novembre 1891) ho potuto estendere il detto teorema alle involuzioni irrazio- 

 nali, ricorrendo alla formola del Segre. Queste applicazioni (che si trovano riprodotte nel 

 § 17 della citata Introduzione ... del Segre) fanno sperare che altre proprietà delle serie 

 algebriche possano dedursi dalla detta formola. 



