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Vale dunque il teorema: 



Una serie algebrica, irriducibile, oo 1 , d'ordine n ed indice v , sopra 

 una curva di genere p, possiede al piti 2v{n-\-p — 1) punti doppi; se 

 il massimo è raggiunto, ed in questo solo caso, la serie è contenuta in 

 una serie lineare dello stesso ordine. 



Od anche: 



Condizione necessaria e sufficiente, perchè una corrispondenza alge- 

 brica (n , v) tra due curve di generi p , n possa rappresentarsi mediante 

 una sola equazione (razionale nelle coordinate di punti corrispondenti), 

 è che il numero dei punti di diramazione della seconda curva valga 

 2v(n-\-p — 1) ; in tal caso il numero dei punti di diramazione della 

 prima curva è 2n(v -f- n — 1). E viceversa. 



Le espressioni scritte assegnano i massimi, che possono raggiungere (con- 

 temporaneamente) i caratteri d e d della corrispondenza ; dei quali caratteri 

 la formola di Zeuthen fornisce soltanto la differenza. 



2. Il criterio contenuto nel primo teorema permette di dimostrare, nel 

 modo più semplice, il lemma nominato del Severi. Eccone l'enunciato: 



Se una serie algebrica, irriducibile, oo 1 , y„, giacente sopra una curva, 

 è tale che V insieme dei v gruppi di y n contenenti un punto della curva 

 si muova, al variare del punto, entro una serie lineare d'ordine nv , 

 allora tutti i gruppi di y n appartengono ad una medesima serie lineare 

 d'ordine n . 



Calcoliamo infatti il numero d dei punti doppi di y n . Questi cadono 

 nelle coincidenze della corrispondenza, che si viene a stabilire sulla curva 

 sostegno f , quando ad ogni punto x di essa si facciano corrispondere i 

 v(n — 1) punti, che, insieme ad x , costituiscono i v gruppi di y n conte- 

 nenti x . La detta corrispondenza ha i due indici uguali a v(n — 1), ed ha 

 la valenza ( Werthigkeit) v , giacché, per ipotesi, il punto x contato v volte, 

 insieme coi punti ad esso corrispondenti, dà un gruppo di nv punti variabili 

 in una serie lineare. 



Dunque, detto il genere di /, il numero richiesto d delle coincidenze 

 è fornito della formola di corrispondenza di Cayley-Brill ('). Si trova pre- 

 cisamente 



d = 2v (n — 1) + 2pv = 2v(n-^p — 1) , 



che coincide col valore massimo, di cui parla il teorema del n° 1. Sussiste 

 dunque il lemma in questione. 



3. Riprendiamo ora in esame la curva K (n° 1), che possiede due in- 

 voluzioni, una d'ordine v e genere p , l'altra d'ordine n e genere ti. La 



(') Cfr. la citata Introduzione ... del Segre, § 12. 



