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formola (5), tenuto conto della (7), ci dice che il genere P di K è soggetto 

 alla limitazione 



(8) V^(n — ì)(v— l) + nn + vp. 



Dunque : 



Se una curva possiede due involuzioni di ordini v , n e generi p , n 

 rispettivamente, il genere P della curva non può superare il limite fissato 

 dalla (8). Se il limite è raggiunto, allora l'insieme degli n gruppi della 

 prima involuzione, che hanno ciascuno un punto in un gruppo della se- 

 conda, si muove, al variare di questo, entro una serie lineare d'ordine nv ; 

 ed un'altra serie siffatta (distinta, o coincidente colla prima) si ottiene 

 scambiando le veci delle due involuzioni. 



Un esempio di una tal curva K si ottiene, considerando la intersezione 

 di due superficie rigate di ordini n , v e generi p , n rispettivamente, situate 

 in posizione generica nello spazio ordinario ('). 



Lo stesso teorema può anche enunciarsi in altra forma, ricordando la 

 rappresentazione analitica (1), (2), (3) della curva K ; dalla quale risulta, come 

 dicemmo, che la K appartiene alla superficie 



(S) f(x,y) = 0 , <p(ìì,r ) ) = 0 



dello spazio a quattro dimensioni. Questa superficie S contiene un fascio, di 

 genere n , di curve P omografiche alla curva f , ed un secondo fascio, di ge- 

 nere p , di curve <P omografiche alla curva cp ; ogni curva P sega in un sol 

 punto ogni curva <2> . La curva K poi sega in n punti ogni P ed in v punti 

 ogni <P . 



Possiamo dire, in conseguenza, che la formola (8) assegna un limite su- 

 periore al genere P di una curva K tracciata sulla superficie S , e secante in 

 n e v punti le curve P e <t> di S . Il limite è raggiunto allora (e solo allora), 

 quando la curva K , sulla superficie S , può rappresentarsi mediante una sola 

 equazione (4) ; quando cioè K è la intersezione di S con una varietà algebrica 

 dello spazio a quattro dimensioni, passante eventualmente per un numero finito 

 di curve F e <P . 



4. Ora conviene confrontare l'ultimo risultato con una formola stabilita 

 dal Severi in una notevole Memoria Sulle corrispondenze fra i punti di 

 una curva algebrica . . . ( 2 ). Il Severi introduce ivi la superficie S , i cui 

 punti corrispondono alle coppie di punti di due curve f e tp , ed esamina i 

 sistemi di curve esistenti sopra di essa. Si presentano anzitutto le curve, che 

 sulla superficie S (definita nel modo da noi seguito) possono rappresentarsi 



(') Cfr. Amodeo, Contribuzione alla teoria delle serie irrazionali ... , Annali di 

 Matematica, s. II, t. XX. 



( 2 ) Memorie della R. Accademia delle Scienze di Torino, s. II, t. LIV (1903); si 

 veda, in particolare, la Parte II della Memoria. 



