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analiticamente mediante una sola equazione (4), nel senso sopra precisato. 

 Il Severi le chiama curve a valenza zero , e dimostra che esse possono otte- 

 nersi mediante l'operazione di addizione applicata, una o più volte, alle curve 

 Pe(P componenti i due fasci esistenti su S . 



Ma, all' infuori delle curve a valenza zero, possono esistere su S altre curve 

 r\ , r 2 , . . . , r t , . . . , la cui rappresentazione analitica esiga, per ciascuna, 

 due equazioni (3). Scelte t di queste curve, il Severi dice che esse sono dipen- 

 denti, se si possono determinare t interi, positivi, non tutti nulli, X x , X z , . . . 

 tali che la curva 



x, r, + A, r 2 -| \-X t r t 



sia a valenza zero ; indipendenti nel caso opposto. E qui si noti che, in luogo 

 di questa curva composta, che potrebbe non esistere per certi valori delle X , 

 è lecito considerare una curva K definita dall'equivalenza 



(9) K = c + x 1 r l + x 2 r 2 -\--.- + x t r t , 



dove C è una curva a valenza zero, scelta in guisa che K esista e sia irri- 

 ducibile. 



Un criterio per decidere sulla dipendenza delle curve Z\ , F 2 , . . . , T t è for- 

 nito dall'esame del discriminante relativo ad esse. Con questo nome il Severi 

 indica un determinante simmetrico, di ordine t , il cui elemento generico è 



dove n l , v x , . . . sono i numeri delle intersezioni di F. x , ... , con una curva F 

 e con una curva <2> , mentre y ik è il numero delle intersezioni di con . 

 Il Severi dimostra che, se le curve r\ , r t , . . F t sono dipendenti, il discri- 

 minante è zero. Sarà vero il teorema inverso? Il Severi lo ritiene vero; ma, 

 non pervenendo a dimostrarlo coi mezzi di cui fa uso in quella Memoria, lo 

 introduce, in un punto ove viene applicato, come una ipotesi eventualmente 

 restrittiva. 



Ora il teorema inverso sussiste. Esso risulta subito dal paragone della 

 nostra forinola (8) colla forinola, che il Severi stabilisce (indipendentemente 

 da quella ipotesi) per esprimere il genere della curva (9): 



? = (n— 1) 0 — 1) -f mx -f vp — \ y c ih Xi X h , 



^ ih 



dove n e v hanno gli stessi significati che nella (8), e gli indici i , k possono 

 assumere i valori 1 , 2 , . . . , t . Dal paragone risulta infatti che (per valori 

 interi delle X) si ha 



(10) X^Mh^O, 



ih 



il segno di eguaglianza sussistendo solo nella ipotesi che la curva K sia a 

 valenza zero. Se supponiamo dunque che il discriminante delle r, cioè il 

 determinante formato coi numeri interi Cm , sia zero, allora esistono valori 



