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dove H ed E rappresentano rispettivamente la forza magnetica ed elettrica; 

 V è il vettore velocità degli elettroni rispetto all'etere supposto in riposo, 

 q la carica elettrica, a è la reciproca della velocità della luce nel vuoto 

 Queste equazioni ammettono il seguente sistema di integrali funzionali: 



(II) U = -^-grady 



( H = rot J , 



essendo <p il potenziale elettrostatico (scalare), J il vettore potenziale cor- 

 rispondente al vettore j della corrente totale, e 



±nj = — -f- AtiqY. 



Ma se si suppone conosciuto il movimento degli elettroni, e quindi cono- 

 sciuti q e V in ogni punto dello spazio e per ogni valore del tempo; e di 

 più si suppone che lo stato iniziale sia quello di riposo e che tutte le fun- 

 zioni considerate si annullino all'infinito, il sistema (I) ammette dei veri e 

 propri integrali ( 2 ). La ricerca diretta di questi integrali, sempre fondata 

 sulle proprietà note dei potenziali ritardati, si può ottenere assai facilmente 

 ed elegantemente nel modo che ci permettiamo di esporre. 



2. Si osservi anzitutto che, per le ipotesi fatte, il sistema (I) non può 

 ammettere che al più una soluzione. 



Se infatti fossero possibili due valori distinti per H ed E , per le rispet- 

 tive differenze h ed e, avremmo: 



, 7>e , ~òh 



rot li = a — , — rot e = a — 



~òt lìt 



div h — 0 , div e = 0 . 

 Se della prima calcoliamo la rot, si ha 



i j. x. j 7 > 7 "Srote . l 2 h 



rot rot h = grad div h — J 2 h = a = — a 1 — - , 



òt ~ùl 



cioè 



□ A = 0. 



Di qui, tenute presenti le condizioni iniziali e all' infinito, si deduce h = 0 

 in tutto lo spazio ( 3 ). Lo stesso dicasi per e ; dunque la soluzione è unica. 



(') Adoperiamo le notazioni e i metodi del calcolo vettoriale; vedi: Foppl u. 

 Abraham, Einfuhrung in die Maxwellsche Theorie der Elektrisitàt, I Band (1904); 

 Elektromagnetische Theorie der Strahlung, II Band (1905). Vedere ancora: Gans, Ein- 

 fuhrung in die Vektoranalysix mit Anwendungen auf die mathematische Physik, 1905, 

 Leipzig. 



( 2 ) Poincaré, Electricité et optique, 2 me édition, Paris, 1901, pp. 455-460. 



( 3 ) Oltre le dimostrazioni note del Poincaré, Théorie mathématique de la lumière, 

 II, pag. 134 (1892), si vegga quella assai semplice e diretta del Boussinesq, Théorie ana- 

 lytique de la chaleur ecc., tom. II, pp. 540 e seg. (1903); e valida anche per equazioni 

 di forma più generale che s'incontrano in alcune teorie di ottica. 



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