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sul Calcolo dei limiti: ma, come nota E. von Weber ('), un teorema ge- 

 nerale di esistenza, nel domìnio delle quantità reali, analogo a quello ri- 

 cordato qui a principio, ancora non è stato dato. 



In una Nota Sull'esistenza degli integrali ecc. (Memorie dell'Accademia 

 delle scienze di Bologna, 1896), come anche nell'altra 1895 Sull'integra- 

 bilità delle equazioni differenziali ordinarie, dimostravo per queste l'esi- 

 stenza della soluzione servendomi del teorema generale relativo alla condi- 

 zione per l'esistenza di una funzione limite continua per una successione 

 di funzioni qualunque, comprese tra limiti finiti; e annunciavo che, se- 

 guendo via analoga, mi ripromettevo di pervenire a un analogo teorema di 

 esistenza degli integrali nelle equazioni a derivate parziali. 



Ma la cosa non mi riuscì, e così, anche più tardi dovetti pur rimandare 

 la pubblicazione della Memoria relativa, annunciata nei Rendiconti del 1903 

 dell'Accademia di Bologna. 



Ora giudico di avere ottenuto in modo semplice mediante opportuna 

 costruzione di una successione di funzioni discontinue, la dimostrazione di 

 che si tratta, e nella Memoria, di cui qui si espone il sunto, precisamente 

 stabilisco che: 



Presupposta nella funzione f(x , y , s , q) la sola continuità rispetto 

 alle variabili in un certo dominio, data ad arbitrio una funzione (f 0 (y) della 

 y continua essa e la sua derivata <p' 0 {ij) in un certo intervallo e con rap- 

 porto incrementale ~t~ ^ iMì sem p re compreso tra — L e L , 



L finito, l'equazione 



ammette sempre una, o infinite soluzioni, z = z(x,y) finite e continue 



insieme con le rispettive derivate — , — in un certo campo, e che per 



~òx ~òy 



x — x 0 si riducono z(x 0 , y) = <p 0 {y). 



Questo lavoro è da riguardarsi come un' applicazione del teorema gene- 

 rale relativo alla convergenza verso funzioni limiti continue, di una succes- 

 sione, o di una varietà di funzioni discontinue solo supposte comprese tra 

 limiti finiti. 



Darò in altra Nota condizioni semplici per la unicità della soluzione. 

 2. Ecco i teoremi sui quali si fonda la dimostrazione. 



1°. Data una varietà G di funzioni, delle quali è solamente presup- 

 posto che siano tutte contenute tra limiti finiti, la condizione necessaria 



(') Encyklopedie der mathematischen Wissenschaften ecc. II Band, Heft 2, 3. 



