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e sopra ciascuno di questi piani si consideri il rettangolo che ha per proie- 

 zione nel piano (x , y) il rettangolo avente per vertice inferiore sulla x=Xo, 

 il punto (x 0 , y 0 ), o il punto (x 0 y x ) , . . . o il punto (x 0 y m -i) rispetivamente. 



Si costruisce a questo modo una superfìcie composta di m rettangoli 

 giacenti in piani tangenti alla curva iniziale nei vari punti dianzi segnati: 

 superfìcie in generale discontinua nel passaggio da un piano all'altro. Essa, 

 quando si consideri come sua ordinata z quella che corrisponde al lato infe- 

 riore y = cost dei rettangoli che la costituiscono, ammette sempre la deri- 

 vata a destra in a, e ammette anche quella in y superiore. 



Inoltre se con 2 m , n , D£ 2 mi „ , D+ 2 TOjW si indicano la funzione costruita 

 e le derivate a destra rispettive in x e in y, si ha verificata l'equazione 



in ogni vertice inferiore sinistro. 



Si consideri poscia la striscia fra le rette x = x x , x = x% : assumendo 

 qui la curva x = x x , s = *pi(y) come curva iniziale e operando come dianzi, 

 si costruisce una seconda superfìcie avente per proiezione nel piano (x , y), 

 quella striscia. 



Si prosegua analogamente colla x = x 2 , B=ip 2 (y), ecc. 



Sopra il dominio 



x 0 ^= x ^ X 0 

 y 0 < y < Y 0 



si avrà costruita una superfìcie discontinua, a derivate in x e in y a destra 

 pure discontinue e che verifica l'equazione proposta in ogni vertice inferiore 

 sinistro degli mn rettangoli, in cui è decomposto il dominio anzidetto ('). 

 Si determini l'oscillazione rispettiva delle 



in una parte c del campo; si vede che considerando ad es. le successioni 



■^2,2 » -^4,4 ) -^8,8 ) • • • 



D+2 2)2 ,D+2 4>4 ,... 



è, per ognuna, sodisfatta la condizione della proposizione 2 a del § 2. 



Esiste dunque, per ognuna, una funzione limite continua, a cui essa, o 

 una successione estratta da essa, converge in eguale grado. 



Siano 



queste funzioni limiti continue. 



( l ) Sulle rette x = x s si considererà come valore z della 2 m ,n quello che corri- 

 sponde al lato sinistro dei singoli rettangoli formanti la 2 m , n : sulle y = Y r , il 2 corri- 

 spondente al lato inferiore : eccettuate le x — X a , y — Y 0 . 



