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sizione (') : le espressioni ¥{x , y , z) 0 , Q(^,?/,^) 0 , R,{x , y , z) 0 ammettono 

 limiti determinati e finiti J quando il punto p = (x , y , s) dell'interno di S 

 (o il punto p' = (x , y , s) di S'), mantenendosi sempre discosto da a , si 

 avvicina indefinitamente al punto p 0 = (x 0 , y 0 , 2 0 ) J & tali limiti soddi- 

 sfanno alle condizioni: 



(10) lini V(x ,y, 2)0 = lira ~P(x ,y,s) 0 , lira Q(# ,y,g) 0 = lim Q(# , y , g) 0 , ... 



f-po ' p'-po p=po P— Po 



Finalmente, ammessa la sola continuità delle funzioni u ,v ,w dei 

 punti di e, si può dimostrare che ( 2 ), se sono determinati e finiti: 



lim ~P(x , y , #) 0 , lim Q(# , y ,s) 0 , lim R(# ,y,z)o. 



P=P° P=po p=?o 



saranno ancora determinati e finiti: 



lim P(# ,y,2) 0 , lim ,y .2)0 , lim R(# ,y,z) 0 



P'=P° p'=?o ?'=^o 



e sussisteranno le (10); e viceversa. 



Le proposizioni precedenti sono la naturale estensione agli integrali (7) 

 delle note proprietà dei doppi strati. 



4. In forza delle condizioni poste per la superficie <r, le coordinate 

 x ,y , s dei suoi punti si possono considerare come funzioni finite e continue, 

 insieme alle loro derivate prime, dei parametri a , /? di un sistema di coor- 

 dinate curvilinee su e; sicché le funzioni (5), quando il punto (x,y,s) è 

 nel punto (« 0 , fa) di e e il punto (£ , rj , £) = (a fi) varia su e, sono finite 

 e continue rispetto ad oc , /? ed hanno solo un polo, del primo ordine rispetto 



ad - , per « = a 0 , /? = /S 0 . Indichiamo queste funzioni rispettivamente con 



x;(« , ; «o , £0) , Y;(a ,0 ;«„,#>) , z;(« ,/?;«<>, /?o), e con x; r (« ,/?;«„, &),...; 

 X"'(« ,^ ;«o i /? 0 ), ... le funzioni analoghe corrispondenti alle (6). 



Siano u(a , /?) , y(a,/?) , w («,/?) tre funzioni finite e continue dei 

 punti di o", ctoe arbitrariamente. Si considerino le equazioni funzionali: 



k(« 0 , /?„) = sp(«o , fa) + ^ , § ; «0 , i?o) sp(« . /*) + 



+ r a {a , /? ; «o , fa) xp(a , /?) + Z' 7 (a , (J ; a Q , fa) % {a^)\ da, 

 v(a a , fa) = ^(« 0 , fa) + ^ )X?(« ,fa,a 0 ,fa) 9>(« ,/?) + -( ^ , 



con 9>(a , /?) , t//(a , /S) , ^(« , /?) funzioni incognite dei punti di a . 



(') Cfr. mia cit. Mem. § 6. cap. II. 

 (*) Cfr. ibid.. § 7, cap. II. 



