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In virtù dei risultati del sig. Fredholrn (') si ha che o esistono terne 

 di funzioni (fi(a , /?) , ipi(a , §) , Xi(« , /?), finite e continue in tutti i punti 

 di a e non identicamente nulle, tali che si abbia per qualsiasi punto 

 p 0 == («o , /S 0 ) : 



0 = 9>x(« 0 , /Se) + ^ iXK« ,/?;«„, /?„) <?,(« , /*) + 



+ Y;(«,/? ;«„,/*,>) + 



0 = Vi(«o , /?«) + f |X?(« , /? ; « 0 , g, 4 (« , /?) + ... [ da , 



oppure esiste una terna di funzioni finite e continue, che soddisfa alle 

 equazioni (11). 



Ora la prima ipotesi è da escludersi. Infatti si considerino le funzioni 

 analoghe alle (7) : 



| <P x (x ,y,z)=^jjT, 9l (a , /?) + Y; «/,,(« , fi + % Zl (« , fì\ da , 



Esse soddisfanno alle equazioni (1). Si ha poi, in virtù delle (8) e 

 delle (12), 



j lim , y , s) = ^i(«o , /?„) + - = 0 , 



Abbiamo dunque, in virtù del primo dei risultati al § 1 , 

 (in tutto S) ® x (x , y , *) = *P,(^ , y , 4 = X,(x , y , *) = 0 ; 

 e per conseguenza le corrispondenti espressioni (9) : 



Pi0,y,4> . Qi(^,y^) 0 . Ri(«,y,«)o, 

 qualunque sia il punto p 0 == (# 0 , y 0 , z 0 ) == (« 0 , £o) di <r, saranno nulle in 

 tutti i punti (x ,y,z) di S . Avremo quindi : 



lim P x {x , y , *)•„ = lim , y , *) 0 = lim H x (x , y , *)„ = 0 ; 



e, in virtù dell'ultimo risultato al § precedente, 



lim P,(x ,y,z) 0 = lim Qiix , y , s) 0 = lim B,(a? , y , A = 0. 



(!) Vedi loc. cit,, § 2, n. 10; § 6, n. 16. 



