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Queste espressioni rappresentano, a meno del segno, le funzioni X 0 , Y„ , Z a , 

 corrispondenti agli integrali (13) delle equazioni (1), considerati come fun- 

 zioni dei punti (x , y , z) del campo indefinito S'; per cui risulterà, in forza 

 del secondo risultato al § 1, 



(in tutto S') Q^x ,y,4ì0 «P,(a ,y,s) = X,{x ,y,z) = Q-. 

 D'altra parte si ha dalle (8): 

 0 = lim à>,(a? , y , s) = - 9l (a 0 + f )T a {a , /? ; a 0 , /?„) tp^a , /?) + - ( da, 



p'—p a CTI J c 



sicché, tenendo conto delle (12), risulterà, come si voleva dimostrare, 



5. Dimostrata così l'esistenza delle funzioni (p(a , /?) , xp(a , /?) , %(a , /9), 

 che soddisfanno alle equazioni funzionali (11), si considerino le funzioni dei 

 punti p = (x , y , s) del campo S : 



u(x,y,z) = ~ r)X;sp(a,/J) + Y^(«,/») + Z5r«(«,/?)(^, 



Esse soddisfanno alle equazioni (1) e ci danno, in forza delle (8) e 

 delle (11), 



lim u{x , y , z) = cp{a 0 ,po) + 7T f ^ a >P '> tt o>Po)*p(«,P)-\—\d*±± u(a 0 , /9 0 ), 



lim y(#, y,s) = v(a 0 ,/? 0 ) , lim , ?/ , ^) = w (a 0 , /? 0 ) . 



p=p* p=p° 



Adunque le funzioni u(x ,y,z) , v(x ,y,z) , w(x ,y,s) dei punti di S , 

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per k^> — - , soddisfanno alle equazioni (1) e nei punti di a prendono ì 

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valori arbitrariamente dati u(a , /?) , v(a , /3) , w(a , /?) . 



