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Matematica. — Ricerche sulle funzioni derivate. Nota di 

 Beppo Levi, presentata dal Socio C. Segre. 



Il sig. Lebesgue ha indicato a più riprese come la nozione dell' inte- 

 grale generalizzato introdotta da lui, rendendo possibile l' integrazione di 

 funzioni derivate che non lo sarebbero colla definizione del Riemann rende 

 altresì possibile la risoluzione del problema delle funzioni primitive con 

 generalità molto maggiore che precedentemente. 



Il Lebesgue ha dato precisamente i due enunciati seguenti : 



a) Condizione necessaria e sufficiente perchè l'integrale della derivata 

 (limitata o non) di una funzione derivabile esista, è che la funzione sia 

 a variazione limitata. In tal caso la funzione è un integrale indefinito 

 della sua derivata ('). 



b) Condizione necessaria e sufficiente perchè esista l'integrale di uno 

 dei numeri derivati d'una funzione (supposto finito) è che la funzione sia 

 a variazione limitata. In tal caso l'integrale indefinito di quel numero 

 derivato è la funzione primitiva ( 2 ). 



I due enunciati sono appena differenti in ciò che nel secondo non si 

 suppone la derivabilità della funzione primitiva, ma si aggiunge una con- 

 dizione nelle parole « supposto finito » che può esser dubbio se chieda o 

 non la limitazione del numero derivato considerato. La costante differenza 

 che il Lebesgue fa tra le parole « limitato » e « finito » ( 3 ) stabilirebbe fra 

 i due enunciati la massima affinità: cionondimeno nella dimostrazione della 

 seconda proposizione V ipotesi della limitazione del numero derivato è es- 

 senziale. 



Ma quanto massimamente importa qui di rilevare è che entrambe le 

 dimostrazioni, quantunque fondate su principi diversi, sono in più punti 

 manchevoli. 



In questa prima Nota io mi propongo di portare a tali proposizioni una 

 analisi più accurata, nell'indirizzo medesimo del Lebesgue: in Note succes- 

 sive, collo stesso titolo, darò, spero, qualche nuovo contributo allo studio delle 

 proprietà delle funzioni derivate. 



1. / numeri derivati — superiori o inferiori, a destra o a sinistra — 



(') Lebesgue, Intégrale^ìongueur, aire, Annali di Mai (3), 7, pag. 265, n. 30. 



( 2 J Lebesgue, LeQons sur Vmtégration etc, Paris, Gauthier-Villars, 1904, pp. 122-3. 

 Cfr. pure Ann. di Mat , loc. cit.. pp. 272-274. 



( 3 ) Per cui una funzione puù esser finita per ogni valore della variabile, ma non li- 

 mitata in quando, per convenienti valori della variabile assuma valori grandi a piacere. 

 Rendiconti. 1906, Voi. XV, 1° Sem. 55 



