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di una funzione continua f(x) costituiscono una funzione di 2 a classe del 

 Baire; quindi una funzione misurabile ('). 



Sia infatti hji 2 h 3 ... una successione di numeri positivi decrescenti tale 

 che lim hi = 0 . 



Si chiami u x la funzione che, per ogni valore di x e uguale al mas- 

 simo di r\J{x) , x , x -f- A] ( 2 ) per h >. Ih, e per il valore fissato di x ; u 2 

 la funzione che, per ogni valore di x, è uguale al massimo di r\_f(x), x , 

 x + K] P er Ih ^h>. ih ; ... ; ui la funzione che, per ogni x, è uguale al mas- 

 simo di r \_f{x) , x , x -f- /i] per k ÌT . 1 >.h>.hi. Ogni funzione è continua: sia 

 infatti = r [/"(#! ), x y , ^1+ A'] , Ui(x 2 ) = r\_f{x 2 ) .x 2 ,x 2 (A' e A" 



compresi fra e /«,) e sia, per es. Uì{xi)^uì{x 2 ): sarà r[/(^ 2 ), x 2 -f- A'] 

 — r [/(^2),^2,^ 2 + /ì"] =Ui(x 2 ); quindi 0 <. w^) — «i(ar 8 ) <. — r 

 [/(^ 2 ) , ^2 , x 2 -\-h'~\. Ma r[/(<r) ,x ,x-\- h'~\ (per ft' costante) è funzione 

 continua di x; quindi esiste un g tale che, tosto che \x x — # 2 |<- £>', l'ul- 

 timo membro è piccolo a piacere (minore di un e assegnato); cosicché, per 

 ogni x tale che 



Ui{x) <. Ui{x x ) , \x y — x\<g', si ha \uì(xi) — Ui(x)\<Cs. 



Del pari si mostrerà che esiste un g" tale che per ogni x per cui 



Ui(x) -> Ui(xi) , l^i — #|.<£", si ha |wj(a?i) — Ui(x)\^>s. 



Basterà allora che \xi — x\ sia minore del minimo fra g' e g" perchè sia 

 in ogni caso \iii{x{) — Ui(x)\<Ce: onde la continuità di u t (x). 



La funzione u(x) costituita dai numeri derivati superiori a destra di 

 f(x) assume, per ogni x , il valor limite per hi = 0 (cioè per i == co) del 

 limite superiore delle uj(x) per j^i. Essa può quindi definirsi come 

 segue ( :! ) : 



Si chiami vf ] (x) la funzione che, per ogni x, è uguale al massimo 

 valore delle u h u h+1 ...Un+i-\\ la funzione vf ] (x) è crescente (o almeno non 

 decrescente) con i: si ponga w cw (^) = lim vf\x); la funzione w 0ù (x) è 



decrescente col tendere di h ad oo , ed il suo limite è u(x); ora si vede 



(') Cfr. Lebesgue, Legons, pag. 121. Ann. di Mat., pag. 273. Le due dimostrazioni 

 sono entrambe erronee, poiché in sostanza si ammette in entrambe (nella seconda in modo 

 esplicito) che la funzione costituita dai numeri derivati si possa definire come la funzione 

 dei limiti superiori od inferiori di r[f(x) , x , x =t hT\ ove ad h si fa assumere una suc- 

 cessione discreta di valori tendenti a 0, gli stessi per ogni x. 



( 2 ) Ove r£f(») , * . , » + JQ - P + V-M . 



( 3 ) Il procedimento qui indicato non differisce sostanzialmente da quello esposto dal 

 Lebesgue nelle prime linee della pag. 121 delle Legons. Nella forma precisa adottata 

 dal Lebesgue il procedimento però non è esatto. 



