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facilmente che le vf ] sono continue, come le m , le io 0ù (x) sono dunque 

 funzioni di l a classe del Baire ( J ) e quindi u{x) è funzione di 2 a classe. 



Analogamente si ragiona per le altre funzioni di numeri derivati. 



2. Ciò posto, si può dimostrare che, se la funzione u(x) dei numeri 

 derivati superiori a destra (e lo stesso sarebbe per ogni altra funzione di 

 numeri derivati) della funzione f(x) è limitala ( 2 ) (nel qual caso, a causa 

 della sua misurabilità, è certo integrabile ( 3 )) in un intervallo a... b, l'inte- 

 grale di essa esteso a questo intervallo è uguale all'incremento della f(x) 

 in esso. 



Sia infatti, per ogni x in a ... b , L >. u(x) >. l ; si può sempre supporre 

 che L e l siano entrambi positivi, poiché nella contraria ipotesi, basterà 

 considerare, in luogo della f(x), f(x) -f- mx la cui derivata superiore a destra 

 è u(x) -f- m ed è quindi costantemente positiva ove si scelga m sufficiente- 

 mente grande. Si divida l' intervallo L ... / in intervalli parziali di ampiezza 

 <. s mediante i numeri li(l t = l , 0 < /, J+1 — /„ <. s) e si chiami e„ l'aggre- 

 gato degli x per cui l n+l > u(x) ^ l n • Esso potrà rinchiudersi in un aggre- 

 gato numerabile A n di segmenti, uno generico dei quali indichereroo con 

 Ln P , e si potrà fare in modo che la misura totale di A„ differisca dalla 

 misura di e» per meno di un rj n arbitrariamente assegnato: cosicché dette 

 m(e„) e m(k n ) le misure di e„ e di A„ , 



0 < m (A n ) — m (e n ) < rj n . 



Disporremo in seguito del numero rj n convenientemente. 



Ad ogni punto x di a ... b risultano così affissi due numeri n e p defi- 

 niti l'uno dall'aggregato e n , l'altro dal segmento A np cui il punto appar- 

 tiene. A partire da a si ricopra allora l' intervallo a ... b mediante una serie 

 di segmenti ( 4 ) x ... x + h tali che il primo estremo x di ciascuno di essi 

 coincida col secondo estremo del segmento precedente, ovvero — qualora tal 

 punto x non sia raggiunto mediante un numero finito di segmenti prece- 

 denti — sia il limite a destra dei secondi estremi dei segmenti precedenti ; 

 tali inoltre che, detti n e p i numeri affissi ad a?, il segmento x ... x -\- h 

 sia interamente contenuto in k np e si abbia 



/„ — £<. r[f(x) , x , x + h~\ <, l n + s • 

 (') Baire, Sur les fonctions de variables réelles, Thèse, Annali di Matematica 1904. 

 Cfr. pure Lebesgue, Lepons, pag. 111. 



( 2 ) Vale a dire non superi mai, in valore assoluto, un limite assegnato. 



( 3 ) Non sempre una funzione derivata è integrabile nel senso del Lebesgue (Cfr. Le- 

 besgue, Annali di Mat. (3) pag. 269-270); però ogni funzione misurabile limitata è inte- 

 grabile (Cfr. Lebesgue, Lepons, pag. 115). Si noti ancora che la condizione che u(x) sia 

 limitata ha nel seguito ufficio essenziale per sè, e non solo come condizione d'integra- 

 bilità. Di tale ufficio non pare avvedersi il Lebesgue nella sua dimostrazione analoga alla 

 presente, poiché tal condizione egli sopprime nell'enunciato delle pp. 122-123. 



(*) Cfr. per questo procedimento, Lebesgue, Legons, pag. 163. 



