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Si chiami B n l'aggregato di tali segmenti corrispondenti all'indice u,m(B n ) 

 la sua misura. B„ sarà contenuto in A„ ; quindi m(B n ) <. m(A n ). Inoltre, se 

 sempre x , x -j- h sono gli estremi di un segmento della serie appartenente 

 all' indice n , 



(l n — .) h < ||r + A) — /(a?) < (L + •) » 



onde 



7 /„ A — s (b — a) ^ f(b) — f(a) k4-s(b — a) 



le sommatorie essendo estese a tutti i segmenti della serie. Queste somma- 

 torie rappresentano quindi una serie che può essere multipla, anche oo-pla; 

 ma poiché si son supposti tutti gli l n positivi, tal serie consta di soli ter- 

 mini positivi, ed è quindi ordinabile, in modo che si potranno raccogliere 

 a gruppi i termini corrispondenti allo stesso indice n . La relazione prece- 

 dente prende allora la forma 



(1) y l n m(B n ) — s(b — a) 4 f{b) — f(a) < v i n m (B M ) + s(b — a) . 



D'altra parte si ha 



0 < m(A n ) — m(B n )<^[m(A n ) — w(B„)] = y m(A n ) — y_m(B n ) 



y m (Bn) = b — a = ^_m (e n ) 



onde 



m(A n ) — m(B n ) < "S m(A n ) — V m(e n ) <C V rj n 



e infine 



0 < y l n m (A n ) — y l n m (B„) = J_ L [m (A n ) — m (B„)] < J_ 4 . Y % . 



Parimenti, collo stesso calcolo, si ha 



0 < y /„ ro(A„) — J_ L m(e n ) <YI (1 V n n ; 



onde infine ancora 



| V7 M m(e n ) —TU m(B„)| = |{£ k m{A n ) — V / n m{B n )\ — 



-\J_i n m(A n ) — v i n m ( é „)|| < y /„ y ^ < | (l + o y ^ . 



La scelta degli rj n resta ancora arbitraria: noi la supporremo fatta in 

 modo che 



