Sarà allora 



Y l n m (e n ) — y l n m (B„) I < s 



e quindi, per la (1), 



I j Ln to{e n ) - [f{b) - f{a)-]\ < | V /„ m{ B n ) _ [/(^) _ | _j- s 



<«(£ — a + 1). 



Si faccia ora tendere s a 0, e di conseguenza crescere n indefinitamente; 

 si avrà, al limite, 



3. Il ragionamento si può ripetere per le altre funzioni di numeri de- 

 rivati. D'altronde se u(x) si chiama la funzione dei numeri derivati infe- 

 riori a destra di f(x) , — u(x) è la funzione dei numeri derivati superiori 

 a destra di — f{%), cosicché, applicando senz'altro alla — f(x) la prece- 

 dente proposizione, 



Siccome la funzione u(x) — u(x) non è mai negativa, segue tosto che essa 

 è ovunque nulla, tolto al più un aggregato di punti di misura nulla ( 1 ). 



Applicando ancora il teorema alla funzione — f( — x) che ha per numeri 

 derivati a destra i numeri derivati a sinistra di f(x) si riconosce infine che 

 ha misura nulla l'aggregato dei punti in cai sono diversi i numeri derivati 

 a destra e a sinistra ( 2 ) di f(x), onde si conclude che : 



La funzione continua f(x) a numeri derivati limitati nell'intervallo 

 a...b ha derivata in ogni punto dell'intervallo, fatta al piti eccezione 

 per un aggregato di misura nulla ( 3 ). 



4. Si può però affermare di più, e con grande semplicità di mezzi, che 

 l'aggregato dei punti in cui, esistendo derivata così a destra come a si- 

 nistra le due derivate sono però diverse, è numerabile. Si consideri infatti 



('J Cfr. Lebesgue, Lefons, pag. 123. L'osservazione che u(x) — u{x) >_ 0 è d'altronde 

 superflua per questa conclusione come mostrò il Vitali, Sulle funzioni ad integrale nullo 

 (Rend. del Circ. mai di Palermo, XX-1905). 



( 2 ) Qui occorre precisamente ricorrere alla proposizione del Vitali, ora citata. 



( 3 ) Cfr. Lebesgue, Lecons, pp. 123-125, dove però la dimostrazione è assai più la- 

 boriosa. 



u{x) dx = f{b) — f{a) . 



ossia 



onde 



