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la funzione y>{x ; m) = f(x) -f mx\ ogni punto in cui esistono ma son diverse 

 le derivate a destra e a sinistra di f(x) gode della stessa proprietà rispetto 

 a y>(x;m). Orbene i punti in cui queste due derivate di <p(x\m) sono di 

 segno contrario sono per g>(x ; m) punti di massimo o di minimo proprio: questi 

 punti formano quindi un aggregato numerabile ('). Si considerino allora le 

 funzioni <f{x;m x ) , cp(x ; m*f , '. . . per una serie di valori di m tali che 

 \nii — rrii+i \ <- e ; in ogni punto in cui le due derivate (a destra e a sinistra) 

 differiscono per più di s , una almeno di queste funzioni avrà le sue derivate 

 di segno contrario ; questi punti formano adunque un aggregato numerabile. 

 Attribuendo allora a s una successione di valori « 2 ••• tale che lim ai — 0, 

 si ottiene infine la proposizione enunciata. 



5. Conseguenza immediata della proposizione del n. 2 è che l'integrale 

 indefinito d'una funzione limitata misurabile ha in ogni punto, ad eccezione 

 di quelli di un aggregato di misura nulla, derivata limitata ed uguale 

 alla funzione integrando ( 2 ). 



Sia infatti y>(x) la funzione che si integra, e sia, per ogni x in un 

 intervallo a ... b M > <p(x) > N; si ponga 



f{x) = f <p{x) dx («<.#<. #). 



Si ha 



l rx+h 



r\_f(x) ,x,x-\-K] = -r <p(x) dx 



hJ x 



onde 



M <. r\_f{x) , x , x -f- h~] < N . 

 I numeri derivati di f(x) sono dunque limitati; sia u(x) una qualunque 

 funzione dei numeri derivati di f(x) : pel teorema del n. 2 si ha quindi 



f(x)— I u(x) dx {a <^x <.b) . 



Segue che 



J [sp(^) — dx = 0 



onde, pel citato teorema del Vitali, le due funzioni <p(x) ed possono 

 differire fra loro solo pei valori di x appartenenti a un aggregato di mi- 

 sura nulla. 



(') Schoenflies, Bericht uber Mengenlehre (Jahresbericht d. D. Math.-Vereinigung 

 8-1900, pp. 157-158. 



( 2 ) In una Nota seguente dimostreremo che in questa proposizione è superflua la 

 condizione che la funzione integrando sia limitata: si può anzi supporre che questa fun- 

 zione possa anche assumere valori infiniti, purché sia integrabile. Il Lebesgue, Lepons, 

 pag. 124) afferma già questa proposizione in questa sua forma generalissima; ma la di- 

 mostrazione ch'egli ne dà non pare attendibile; quando infatti si ammette che la funzione 

 integrando sia illimitata, il ragionamento della pag. 124 citata ammette implicitamente 

 che una certa serio si possa derivare termine a termine del che manca la prova. 



