un méme diviseur D et à deux progressions équidistantes des extrémes, 

 sont respectivement égales à D — 1 et à B . 



III. Si les valeurs de I, de kj, de Y et de m sont telles que l'égalité 



Bki + 1 = Ym 



existe, et si l'on considère l'èquation 



B£ B _ : + (B — I) = (B — I') m , 



où les deux indicateurs B — I et B — Y sont complémentaires des deux 

 indicateurs I et Y de l'égalité précédente, la caractéristique inconnue 

 &b-i est donnée par la formule 



k B -i ==m — 1 — ki . 



7. D'après les théorèmes II et III, il suffit, pour calculer le binóme 

 Ym — I, d'associer à la première moitié des P valeurs de Y la première 

 moitié des P valeurs de m, rangées dans l'ordre croissant. 



Le reste obtenu en divisant Ym par B est li' indicateur I relatif à une 

 progression du système de base B . 



Quand K' est nul, le premier terme de la formule (2) donne, dans 

 chacune des P progressions du système de base B , les P caractéristiques k 

 correspondant aux P valeurs de Y . 



D'après le théorème I, comme les caractéristiques k correspondant à 

 l'indicateur I sont les mémes quand D égale soit I', soit m, il suffit de 

 commencer les produits Ym à partir de la valeur de m égale à la valeur 

 considérée de Y, c'est-à-dire au carré de Y. On sait que l'on applique le 

 premier terme de la formule (2) seulement aux valeurs de m qui égalent 

 p 



les — premiers indicateurs. D'ailleurs, aux produits de 1 par les indicateurs 



correspondent des caractéristiques k évidemment égales à 0 . Par suite, parmi 

 les P' 2 caractéristiques k relatives aux P diviseurs qui égalent les indica- 

 p(p . 2) 



teurs, il y a au plus caractéristiques k dont la détermination 



o 



exige une multiplication et une division. 



8. La Table de caractéristiques k relatives à la base 30030, avec les 

 diviseurs premiere de 17 à 30029 permet de résoudre le problème en ques- 

 tion entre 1 et 30030 2 ou 901800900, c'est-à-dire pour des nombres beau- 

 coup plus grands que le nombre 8999 999 auquel s'arrètent les Tables im- 

 primées de facteurs premiere des nombres. Elle a de plus l'avantage de donnei- 

 souvent plus d'un des facteurs premiere du nombre considéré, sans obliger 

 à faire des divisions. 



Soit N un nombre de la forme 30030K + 1 . Pour faire les essais, on 

 s'arrètera au diviseur premier D n immédiatement inférieur à f/N. 



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