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Matematica. — Sopra alcuni caratteri di una varietà alge- 

 brica a tre dimensioni. Nota di Marino Pannelli, presentata dal 

 Corrispondente G. Castelnuovo. 



Nell'ultimo paragrafo della sua classica Memoria: Zur Theorie des ein- 

 deutigen Entsprechens algebraischen Gebit&e, pubblicata nel volume Vili 

 dei Matbematische Annalen, Noether esamina alcuni caratteri di una varietà 

 a tre dimensioni, definita da un'equazione omogenea fra cinque variabili, 

 deducendoli dalla considerazione del sistema delle superficie canoniche, trac- 

 ciato sulla varietà stessa, supposta d'ordine n, dalle varietà aggiunte d'or- 

 dine n — 5. Essi sono: il numero p , Raumgeschlecht, di queste varietà 

 aggiunte linearmente indipendenti fra loro ; il Flachengeschlecht p (1) e il 

 Curvengeschlecht p™ di una superficie canonica; il genere p m della curva 

 d'intersezione di due di tali superficie; e il numero p u) dei punti comuni 

 a tre delle superficie medesime. Accanto a questi invarianti, che, in virtù 

 del loro significato, si dicono geometrici, se ne possono considerare altri, che 

 si denominano numerici, perchè definiti da espressioni numeriche formate 

 con i caratteri di un sistema qualunque di superficie dato nella varietà, e 

 con quelli del sistema aggiunto. Siffatti invarianti sostituiscono i precedenti, 

 nei casi in cui questi non hanno più senso; coincidono con essi, quando la 

 varietà data soddisfa a certe condizioni ; infine sono nuovi caratteri invariantivi 

 per le varietà, nelle quali queste condizioni non si trovano verificate. Lo 

 studio degli invarianti numerici di una varietà costituisce l'oggetto della 

 presente Nota. 



Il procedimento col quale si riesce a trovare questi invarianti è natu- 

 ralmente simile a quello che si segue per la ricerca degli invarianti analoghi 

 sopra una superficie. Qui si è in particolar modo tenuta presente la Memoria 

 di Enriques: Intorno ai fondamenti detta Geometria sopra te superficie 

 algebriche, inserita nel volume XXXVII degli Atti dell'Accademia delle 

 Scienze di Torino. 



Eiguardo alla varietà data, si suppone che essa possa trasformarsi in 

 un'altra W di un iperspazio affatto priva di singolarità ; e a quest'ultima si 

 intendono sempre riferite le ulteriori considerazioni. 



Sui sistemi lineari |S| di superficie S, che si prenderanno in esame nella 

 varietà W, si fanno ipotesi e convenzioni analoghe a quelle, che vengono 

 ammesse nella citata Memoria di Enriques, per i sistemi lineari di curve 

 tracciati sopra una superficie. 



1. In questo primo numero si trovano esposte alcune proprietà, di cui 

 si fa uso in seguito, sulla dimostrazione delle quali qui per brevità si sorvola. 



