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Si indicherà con n il grado del sistema |S|, e con p il genere della 

 curva d'intersezione (variabile) di due superficie del sistema medesimo; n a 

 e p a avranno i significati analoghi rispetto al sistema aggiunto |S a |; ossia 

 si porrà: 



(5) (SSS) = « , g(SS)=p , (S 0 S a S a )='» a . g(S a S a )=p a . 



In virtù del teorema IV e della data definizione di sistema aggiunto, 

 si dimostra come nel caso delle superficie: 



V. « Se |S[ ed |S r | sono due sistemi lineari irriducibili, virtualmente privi 

 « di elementi base, si ha: 



(6) |s + s r | 0 =|s + s;i=|s 0 + s'|. 



Dalla relazione (4) segue : 



|(SS a )| = |(SS,)-3(SS)| 



e di qui, tenendo presente il teorema III e ricordando che una curva cano- 

 nica di una superficie, presa insieme alle curve eccezionali e a tre curve di 

 una qualunque rete irriducibile, costituisce una curva appartenente al siste- 

 ma lineare completo determinato dalla Iacobiana della rete, si deduce : 



VI. « Ogni superficie S a del sistema |S a [ taglia una superficie assegnata S 

 « del sistema |S|, fuori delle curve eccezionali di questa superficie, secondo 

 « una curva canonica della superficie medesima ». 



Quindi detto Sì V invariante di Castelnuovo-Enriques di una superficie S , 

 si hanno le relazioni: 



(7) g(SS P ) = Q , (SS fl S„) = i2-l 

 dalle quali segue: 



(8) ? (SS 0 )==(SS a S 0 ) + l. 

 Infine si osservi che si ha ancora: 



(9) . (SSS ffi ) = 2(^ — 1) — n, 



2. Si applichi la relazione (8) anziché al sistema |S|, al sistema |S -f- S a |; 

 osservando che il sistema aggiunto a quest'ultimo, per la proprietà V del 

 numero precedente è |S„ -f- S 0 | = |2S 0 j , si ottiene: 



(10) g(S + S a , 2S„) = (S + S„ , 2S, , 2S„) + 1 . 

 Ora si ha: 



g{S + S a , 2S„) = 2g(SS a ) + 2g(S a S a ) + 3(SS a S a ) + (S a S 0 S 0 ) - 3 

 ossia per le formole (5) e (7): 



g(S + S a , 2S a ) = 5SÌ + 2p a + n a -6. 



