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Inoltre : 



(S + S n , 2S a , 2S a ) = 4(SS a S 0 ) + 4(S a S a S a ) = 4£ -f in a — 4 . 



Sostituendo questi valori nell'eguaglianza (10), si trova: 



I. « Fra il grado n a e il geuere p a ha luogo la relazione : 



(11) 3« à — 2p a = Sì — 3 . 



Iu virtù della prima delle forinole (7), il genere della curva (S-j-S a ,2S a ) 

 è dato dall' invariante di Castelnuovo-Enriques relativo alla superficie S -j- S a . 

 Quindi calcolando questo invariante per mezzo della formola (2), si ha 

 altresì : 



g{S -f S a , 2S a ) = Sì + Sì a + 8</(SS a ) — (SSS a ) — (SS a S 8 ) — 9 



ossia per le (7) e la (9) : 



g(S + S a , 2S a ) = Sì a + SSÌ - 2p -f n — 6 . 



Con questa nuova espressione del g(S -f- S a , 2S a ) e conservando per (S -j- S Q , 

 2S 0 , 2S a ) il valore precedentemente calcolato, l'eguaglianza (10) somministra 

 ancora : 



li. « Fra i caratteri n a ed Sì a ha luogo la relazione: 



(12) 4n a — S2 a = 4SÌ — 2p + n — $. 



Eliminando Sì fra la (11) e la (12) si ha infine: 



III. « Fra i tre caratteri n a ,p a ed Sì a ha luogo la relazione: 



(13) Sì a -f 8(*. — p a ) = 2p — n — 9 . 



3. In virtù del teorema V del n. 1, il genere aritmetico di una super- 

 ficie S -f- Sa è eguale a quello di una superficie S a -\- S'. Quindi per la for- 

 mola (1), si ha intanto: 



(14) P + K + g(SS' a ) = F + P a + g(S' S 0 ) 

 Inoltre dalla relazione (6) segue ancora: 



(s a s) + (s a s;) = (s a s a ) + (s a s') 

 (s;s) + (s;s;) = (s;s a ) + (s;s') 



donde, sommando, si ricava : 



(ss a ) + (ss;,) + (s; so = (S' s'j + (s' s«) + (S a s„) 



epperò : 



9 (ss a ) + 9 (ss' a ) + g(s r a s' a ) + (ss n s;) + (ss; s;) 

 = ^s-' s;) + 9 {8' s a ) + <?(s a s 0 ) + (S' s; s a ) + (S' s a s a ) 



