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ticulier, parce que la formule de Gauss nous permet de donnei- sous simple 

 forme la serie hypergéométrique qui figure au second membre de (2). 



Or, il est très intéressanti, ce me semble, que ces deux autres cas par- 

 ticuliers a = 1 , = i , q = ± v nous conduisent à des résultats analogues 

 et aussi simples que le précédent. 



En effet, étudions tout d'abord le cas q — v , il s'agit de déterminer 

 sous simple forme la serie hypergéométrique 



F(— v — n , — n , 1 + v , — 1) 1 -f 



(v -}- n) (v -\- n — 1) . . . (v -\- n — s -{— 1) 



(* + l)(r + 2)...(r + 5 ) 



Cela posé, remarquons que nous avons évidemment 



F(— v — 2n — 1 , — 2n — 1 , 1 + v , — 1) = 0, 



ce qui s'accorde bien avec la forme mème de la sèrie ordinaire qui repré- 

 sente la fonction cylindrique de première espèce, il ne nous reste qu'à la 

 détermination de la somme susdite pour des valeurs paires de n. 



A cet effet, écrivons sous cette forme plus simple la somme dont il s'agit 



jSn (,) = 2 + 2 :'y\-iy( 2n ) . (v + 2»)(r + 2«-l)-(v + 2»-^ _ I , 

 (3)^ à \ 9 ' (v + ì)(v + 2),..(v + s) 



, ,_ 1ìn /2»\ (v + 2n) ( v + 2n-l)...(v + n+ l) 

 ; W (r + l)( V + 2)... (r + n) 



nous aurons, après une simple réduction, cette équation aux différences finies 



Remarquons ensuite qu'un calcul direct donnera, en vertu de (3) , pour 

 de petites valeurs de r, une expression de la forme 



(5) SJv) = (— l)r@Ì!ìl l 



K) rU [ ■ l) ri (, + l)(, + 2)...(v + r)' 



puis supposons vraie pour r — n — \ la formule (5) , l' équation aux diffé- 

 rences finies (4) aura cornine solution generale une fonction de la forme 



(6) f n (v) = (- 1)" ■ ^ • 1 + G (v), 



ni (v (»' + 2) ... (v -}- n) 1 w 



où G(v) désigne une fonction arbitraire assujettie à satisfaire à la condition 

 de périodicité G(v -f- 1) = G(v) . 



Or, dans le cas particulier, où la fonction f n (v) est une fonction ra- 

 tionnelle de v, C(v) doit étre indépendante de v, de plus, remarquons Fiden- 

 ti té S„(oo ) = 0 , tirée directement de (3) , nous aurons dans le cas particulier 



