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susdit C(v) = 0, ce qui montrera clairement que la formule (5) est vraie 

 pour une valeur quelconque de r. 



Cela pose, la formule generale (1) donnera finalement la sèrie de puis- 

 sances très intéressante 



(7) JVa?) ZHix) = P- Y — 



KJ ' éi s!r(r + s + l)r(r + 2s + l) ' 



qui est certainement nouvelle. 



Dans le second cas q = — v, il s'agit de trouver sous simple forme la 

 somme 



F( — v — n , — n , 1 — v , — 1) . 



A cet effet, prenons pour point de départ la formule de Gauss ( l ) 



(P— l — (y— a )x). -Ficc^y + l ì z) + (y—p + l)-Y(cc, /?— l,y-f-l,a?) = 

 = y(l— x) ■ F(a , j? , y , x) 



nous aurons immédiatement 



F( — 1 — v — n, — n , — v , — 1) = 



= — w ""^J ~ V ■ F(— li-— * , — n— 1 , 1 — v , — 1), 



d'où après une simple réduction 



g( _,- a »,_ a ,, 1 _ y ;ii ) .^-(*+y'+8) ; -<>+8.-i) 



MK'-iH-i) 



F( — v — 2w — 1 , — 2w— - 1 , 1 — v. — 1) = — 5 — 1 — — -'— — — 



2 ' 2 2 



ce qui donnera en vertu des propriétés fondamentales et très connues de la 

 fonction gamma : 



l -, ™ ^ w \ r7r V ("2") 



l Z v J^) J = COS — • 2_ — 



(8) 



- sin — • J_ 



«=0 



2/ 



(2s+i)!r( s + ^)r( s + ^) 



(') Disquisitiones generales circa functiones a serie infinita etc. § 8. Comment. 

 Gotting. t. 2; 1813. 



