— 493 — 



d'où en mettant — ix au lieu de x, ces deux forinules plus élégantes 



i v j-'(x) j-\ìx) + r j r{ix) j~ v {x) = 



W 



(9) 



= 2c 0Sl --y — a ,„v 2 _ v v 



-o {2s) , r ^ s + r ^ s + 



i v J v (^) J~ v (?'#) — i~' V(ix) J -v (^) = 



I I'- 



2 à (2s+1)!r p£±^ r ( s+ B^y 



les trois dernières formules sont certainement nouyelles aussi. 



§ 2. Applications: Equaiion différentielle, intégrales définies. — Le 

 développeineiit trouvé de (8) pour la fonction 



y = J v (ì/ ~x) JV (t-/— ~%) 



nous conduira naturellement à chercher pour y ime équatiou différentielle de 

 la forme 



(10) tf» + f y<» + Jr y«» + f z + + |) y = 0 . 



A cet effet, introduisons dans (10) la serie susdite, puis mettons 

 . _ (a — v . (ù -4- v 



o = V + 2s , S = — , S -f- V = — r — , 



il résulte, en cherchant le coefficient de la puissance x'' +2s ~ 4 , ime condition 

 de la forme 



w(a> — l) (w — 2) {(>) — 3) + ao)(co — 1) (éo — 2) -\-bo)((o — 1) -j- eco -f- d -4- 

 + 4o(»(»- 1) («o».— r») = 0 



qui doit étre satisfatte par ime infinite de valeurs de w, ce qui donnera 

 immédiatement l'équation différentielle cherchée 



(11) y u, + f y lz) + ^-y" 2) -^-y = o, 



qui est extrémement simple. 



Cherchons maintenant l'intégrale complète de (11) en y introduisant 

 la sèrie 



71 = V fi., ■ .X n+2S . 



