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nous aurons, après une légère transformation de la variable indépendante, la 

 proposition suivante : 



L'intégrale complète de l'équation différeniielle 



(12) Z' 4 > + ^ • Z (3 > -f- J ■ Z <2 > — J ■ Z w — 4Z = 0 



se présente sous la forme 



(13) Z = cj\x) J\ix) + c,J\x) Y\ix) + c 3 J v (ix) Y v (x) + c 4 Y v (x) Y\ix), 



oii Y désigne la fonction cylindrique de seconde espèce, tandis que les c 

 soni des constantes par rapport à x . 



Corame une autre application des formules du § 1 nous avons à dé- 

 terminer quelques intégrales défmies d'une simple forme. 



A cet effet, appliquons tout d'abord l'intégrale eulèrìenne de seconde 



J e- tx f-Ut = ^- , dt(x) ^ 0 , »(v)> : q", 



nous aurons immédiatement, en verta de (7) et (8), ces deux formules 

 intégrales 



pai 



(14) J J v (t/2 + a?) J v (|/— 2 + a?) J v (ix) 



(15) i»J J v (j/2 + x) J" v (j/— 2 -{-le) e~ l dt = Il\ix) — i X\ix) , 

 où II et A' désignent les fonctions de Poisson-Anger ( x ), savoir : 



„„, . vn x 



#%r) = cos — • 2_ 



X^) = sin^ . J 



4+^)4+.^) 



(-i)-(fr 



«4 + ^)r( s + ^) ; 



dans (14) il faut supposer 9?(?)> — 1, tandis que (15) est valable pour 

 une valeur finie quelconque de v. 



Cela posé, appliquons la formule de Weierstrass ( 2 ) 



(16) 7^ = ^- f e'-t-tdt, 



O) Handbuch der Theorie der Zyliriderfunktionen, p. 47. Leipzig 1904. 



( a ) Voir mon: Handbuch der Theorie der Gammafunktion, p. 147. Leipzig 1906. 



