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où %o désigne un chemin d'integration qui renferme l'axe des nombres né- 

 gatifs avec l'orgine en entourant dans le sens direct ce dernier point, nous 

 aurons immédiatement ces inversions des formules (14) (15) 



(17, ^)J-(^) = à'Xf J "(l)* 



,i 8) J ii^) J -( l ^)=£i5(-(|)--(|))*. 



formules qui sont valables pour des valeurs tìnies quelconques de x et v . 



§ 3. Séries analogues à celles de C. Neumann. — L'intégrale curvi- 

 ligne (17) que nous venons de développer est dun grand intérét. 



En effet, considérons en premier lieu cette serie neumanienne de pre- 

 mière espèce ( l ) 



(19) (|y = g>+y+'):^ (<) , 



valable pour une valeur finie quelconque de %, tandis que v ne doit pas 

 étre égal à un négatif entier, les formules (16), (17) donnent immédiate- 

 ment ce développement analogue 



(20 ^ = | ('■+ »)*•(» + .) J-(i-) r~W=ì) , 



valable où l'est (19). 



En second lieu introduisons la sèrie kapteynienne ( 2 ) de première espèce 



(21) 



où. v ne doit pas étre égal à un négatif entier; dans le cas v = 0, la for- 

 mule (21) se réduit à l'identité 1 = 1, tandis que la sèrie générale (21) 

 est certainement absolument convergente pourvu que | où co désigne 

 la racine positive de cette équation transcendante 



2 



4 =1 , « = 0,659... 



Cela posé, nous aurons évidemment, en vertu de (17), ce développement 

 analogue 



(22) 



*> + i) éò si(v + 2 S y 



S v+2s (V(v + 2s) x) • F + *»(f/— (v + 2s) x) 



t 1 ) Zylinderfunktionen, p. 273. 

 ( 2 ) Ibid., p. 303. 



Rendiconti. 1906, Voi. XV, 1° Sera. 



