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qui est valable pour une valeur fìnie quelconque de x, pourvu que v ne 

 soit pas égal à un négatif entier. 



Considérons maintenant la serie de puissances 



(23) f(x) = ao + fll (f) + a 2 (ff + a 3 + .., 



dont le rayon de convergence et égal à g, puis mettons dans (21) (22) 

 v-\-l,v-\-2,v-{-3,... au lieti de v , une application de la méthode que 

 j'ai expliquée dans mes recherches sur les séries neumanniennes (*) donnera 

 ce théorème nouveau : 



La sèrie de puissances (23) est développable en séries de fonctions 

 cylindrigues, cornine suiti 



(24) m = i^j ■ %-> • A. • J-(, --~x) 



(25) f{x) = {t) ■ S rs • Bs ■ Jv+S Mh^) jv+s , 



ozi nows aycws joose pour abrèger 



(26) A„ = (v + n)-\ ^=^! ■ T{ v + n - 2s + 1) r(v + « - s) • 



( 9 7 ) B = L__ V' (-l) 5 (v + » — 



■ r(v + n — 2s + l)r(v + n — s)- a n . 2s : 



Les deux séries ainsi obtenues et la sèrie de puissances donnèe sont 

 en méne temps convergentes, oscillantes ou divergentes, et la convergence 

 est toujours du méne caractère: absolue ou non, uniforme ou non. 



Bemarquons encore que les deux séries (24) et (25) présentent la méme 

 analogie que j'ai développée, dans mon Traité ( 2 ) susdit, entre les séries 

 neumanniennes et kapteyniennes. 



On voit du reste que les deux coefficients A M et B„ deviennent généra- 

 lement plus compliqués que ceux obtenus en développant en séries neuman- 

 niennes ou kapteyniennes la mème ibnction f(x). La raison de ce fait est 

 à chercher dans le diviseur r(r-f-l) qui figure aux premiers membres des 

 deux développements fondamentaux (20) et (22). 



(') Loc. cit. p. 266. 



( 2 ) Zylinderfunktionen, p. 303. 



