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Matematica. — Sopra una ricerca di limite. Nota di Ettore 

 Bortolotti, presentata dal Corrispondente E. Cesàro. 



Il teorema: 



Gì bt 4- a 2 b- 2 4- ••■ + a n b n .. «i 4- a 2 4- ••■ 4- a„ 

 lim ' , , — 4 4-t = lim — ■ ! ! 



dal quale, direttamente od indirettamente, hanno preso origine molte ricerche 

 del Cesàro sulla Aritmetica assintotica ('), e quelle del Borei sulle Serie 

 sommabili; è dimostrato solo nel caso in cui la variabile positiva b n vada 

 allo zero sempre decrescendo, e la somma b x -\- b t -\- ■■■-{- b n cresca oltre 

 ogni limite ( ? ). 



Questo è infatti il caso che più naturalmente si presenta nella teoria 

 delle serie a termini positivi; ma il teorema medesimo si presta a molte 

 altre importanti applicazioni, per le quali occorre che le b n sieno assogget- 

 tate a condizioni più larghe. 



In particolare, ho dovuto applicarlo allo studio della frequenza di in- 

 siemi lineari, ed a quello generale della convergenza di algoritmi infiniti; 

 in casi in cui le b n dovevano essere supposte infinite, ed in altri in cui la 

 somma b x -\- b-, -\- ■■■ -\~ b„ , era infinitesima per n = oo . 



Ho visto, che pur conservando per la variabile a n la massima genera- 

 lità di definizione, il teorema è valido anche in cotesti casi, quando si am- 

 metta che la variabile monotona 



B n =^4-è 2 H H#n, 



abbia ordine finito di infinito o di infinitesimo; ma che non è più valido, 

 senza che per le a n si introducano speciali ipotesi, per variabili B (i cre- 

 scenti più rapidamente di qualsiasi potenze positiva n a , o decrescenti più 

 rapidamente di qualunque potenza negativa n~ a 



1. Teorema 1°. Se, crescendo n all'infinito , la variabile b n si con- 

 serva monotona e la somma 



(1) B n = b, + *, H h K 



(') Rend. Acc. Se. fisiche e mat. di Napoli, 1893, pag. 187; Mathesis, 1893, pag. 241, 

 Atti Acc. Se. di Napoli. 1894, n. 11; Rend. Circ. Mat. di Palermo, tomo I, pp. 224-293. 

 ( 2 ) Vedasi p. es. Cesàro, Analisi algebrica, pag. 103. 



