— 546 — 



è infinita di ordine finito, si ha 



lim «. b +a ì bì + - + ( bl K = Hm * + «, + ••• + *,. 



»=oo #1 + £ 2 -j \-b n »=oo » 



purché il secondo membro esista e sia finito (o nullo). 



Se la variabile B n è infinita del primo ordine (secondo la definizione 

 di Cauchy) ('), il teorema ha luogo anche nella ipotesi che esista solo il 

 primo membro, purché si sappia che il valore assoluto del secondo membro 

 ha massimo limite finito. (Questa condizione è in particolare soddisfatta se 

 il valore assoluto \a n \ ha massimo limite finito). 



Il teorema è noto per variabili b n infinitesime; se la variabile mono- 

 tona b n non è infinitesima, la somma 



B n = b l + b t -\ \-b n , 



è infinita del primo ordine almeno. 



Se B n è infinita del primo ordine, dovremo avere ( 2 ) : 



(3) lim^M = l; 



se ha ordine finito, maggiore di 1, determineremo due numeri positivi 

 con la condizione: 



/ . JB n 1 . 

 i min. lim —=— : 1 -J- e, 



(4) 



n 



max. lim : - < a . 



n =* o n n 



Pongasi : 



(5) ai -f- a l 4" '•• + cin — nl n , 



(6) c„ = n(b n+l — b n ) ì 



(7) C„= c x + c* -\ t-c n = wè„ +1 — (*! + H h &») = nJB n — B„ . 



Avremo le identità: 



+ «* + M« = ^ bt + (2A 2 — li) b, + - + («X n — (» — 1) b n 



= K )*i+,M h + ^. + * + - + '«I - 



— (^ìCi + hcì + ••• ■+- ; 



da cui 



"Mi + M KM " <v+*H ì' 



(') Oeuvres, sér. II, t. IV, pag. 281. Vedi ancora: E. Borei, Lecons sur les sérieì 

 à termes positifs; E. Bortolotti, Lezioni pel calcolo degli infinitesimi (Modena 1905). 



( 2 ) Cfr. Bortolotti, Contributo alla teoria degli infiniti, Ann. di Mat. t. XI della 

 serie III, pag. 50; Lezioni sul calcolo degli infinitesimi, pag. 50. 



