— 547 



Ora 



(9) 



Ci + c, -j h g» _ w^B» - B„ _ ^B n , 1 t 



*i+M h*n B„ B n ' n 



onde, ricordando la (3), si vede che, se la B (i è infinita del primo ordine, 

 si ha 



Poiché \l n \ ha massimo limite finito, indicando questo con L, avremo: 

 ( max. lim U„ I ^ L , 



max. lim 



A t gi + ^gg« H < L . 



I Ci -{- g 2 H h g» I 



onde ancora: 



max. lim 'X n —, p p < 2L , 



,=* | g! + g 2 H t-g» I 



e, per la (10): 



(11) lim C ;l; 2 t'"ì; n Ì^- Algl t'""ì A "Ì - Q - 

 Dalla identità (8) ricaviamo dunque: 



(12) lim ' , ; — r 1 t 1 -, = lim l n \ 



quando uno dei due membri esista. 



Sia invece B ;i infinita di ordine superiore al 1°. 

 Considerando che, in questa ipotesi, la b n non può essere decrescente ; 

 vediamo che la 



c n = n(b n +i — b n ) 



è sempre positiva o nulla, la C„ è dunque monotona; mentre, dalla prima 

 delle (4), ricaviamo 



C n ^ *B„ , 



la quale ci assicura che la C n è infinita per n = co . 



Supposto dunque che esista il limite della variabile X„ , si avrà per 

 un noto teorema: 



lim * lgl +,^ + - + ^ = lim X n , 

 g, + g 2 -j \-c n 



ed in conseguenza, se X„ è finito o nullo, 



ì]m \ Xn _^ + ^ + ---^Cn 

 «=» ( Ci + C 2 H h C n 



