— 548 — 



Si ha poi, per le (4), (9), 



max. hm , — — - — max. lim ( -~ : 1 )< fi — 1 . 



*i + *H h *« «=» V B„ » / ^ r 



Dunque rimane provato, che 

 e, dalla identità (8) ricaviamo 



«,*i + #2* 2 H h«n*« ,. , 



hm 1 = hm A n , 



*i + * 2 H (- * M 



purché il secondo membro esista, e sia finito (o nullo). 



2. Teorema 2°. Se £« variabile U n = a 0 b 0 — «1*1 — «n*m, è 



infinitesima, la variabile b n è monotona, e la variabile fi — b 0 — b x — b 2 



— b n , è infinitesima, ali ordine non superiore a quello di qualunque 



1 



potenza positiva ( - 1 , di - , si ha 



« 0 *o — ai^i ««*« a x 4- a 2 -4- •■• -4- a H 



hm -—-^ — ; - — = hm — — ■ , 



»=x b 0 — bi — b 2 b n n=* n 



purché il secondo membro esista, e sia finito (o nullo). 

 Pongasi 



l « 0 — l 0 , ai -f- « 2 -f" ■•• -f- a n = nl n 

 (13) * co =b 0 , c n = n{b n — b n+i ) 



f y« = c 0 — ci — co c„ - /?„ -f- nbn+i • 



Per la convergenza della serie a termini positivi monotoni 2b n , sup- 

 posta dal nostro enunciato, si ha 



lim nb n +\ — 0 ; 



ed anche perciò, dalle (13), 



lim Yn = 0 . 



La serie ^_ c„ , converge dunque verso la somma c 0 . 



Si ha poi la identità 



«o*o — «1*1 «« b n = 



= « 0 * 0 — hbi — (2A 2 — li) *, {nl n — (n — 1) X n -Ò b» 



= l 0 Co — AiCi — lzC 2 — ••■ — nl n bn+i ■ 



