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dove si è scritto brevemente 



Igr ' (Gr) ! 



invece dei massimi interi contenuti in quelle espressioni; si ha 



i ìm m^+... + f.t ==0 . 



n =-x> n (bì bì b u ) 



Se poi si prende b,, = e HÌ \ ,u positivo arbitrario, si trova che il rap- 

 porto 



Uj-\-u 2 -\- ••■ -f- u n 



h + h H f" b n ' 



non cessa di oscillare fra i limiti 0,1. 



Matematica. — Ricerche sulle funzioni derivate. Nota di 

 Beppo Levi, presentata dal Socio C. Segre. 



Riprendo in questa Nota e nella successiva lo studio delle relazioni fra 

 il comportamento delle funzioni derivate e quello delle loro funzioni primi- 

 tive, di cui già trattai in altra Nota (') portante lo stesso titolo. E con nuove 

 argomentazioni mostrerò come i risultati già ottenuti per le funzioni a fun- 

 zioni derivate limitate si estendano ancora a casi molto più generali. 



1. Se una funzione continua ip(-z) ha in un intervallo a ... b un incre- 

 mento di valor assoluto K e se si sa che, tolto dall'intervallo a ... b un 

 aggregato A di punti cui corrisponde un aggregato di valori di il>(x) di 

 misura H < K ( 2 ), in tutti i punti residui, fatta eccezione per quelli di 

 un aggregato di misura nulla, la derivata superiore a destra della ip{x) è 

 nulla, esistono in a ... b infiniti punti non appartenenti ad A ed in cui 

 almeno una derivata di \p{x) è infinita (La proposizione rimane evidente- 

 mente vera se in luogo della derivata superiore a destra si considera uno 

 qualunque degli altri tre numeri derivati ( 3 )). 



(') Vedi pag. 433. 



(-) La dimostrazione si semplifica notevolmente nell'ipotesi della non esistenza dell'ag- 

 gregato A ; il lettore potrà ottenere tal semplificazione considerando come nulli i segmenti 

 e aggregati di segmenti S > S , Si , ffj , e nulli pure i numeri H , / e come non esistenti 

 quindi le considerazioni che a questi elementi si riferiscono. 



( 3 ) Il ragionamento si ripete per questi altri numeri derivati, per semplice analogia. 

 D'altronde una osservazione già fatta nella Nota precedente (n. 3) pennette di dedurre 

 le proposizioni analoghe direttamente da quella del testo, senza riprendere il ragionamento. 

 Nel seguito le proposizioni analoghe a quelle enunciate, per le singole funzioni derivate, 

 saranno costantemente sottintese. 



Rendiconti. 1906, Voi. XV. 1° Sem. 



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