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Si chiami B l'aggregato dei punti di a ... b , non appartenenti ad A , 

 ed in cui si sa che la derivata superiore a destra di xp(x) è nulla; C l'ag- 

 gregato di misura nulla di punti non appartenenti ad A in cui non si conosce 

 la derivata di ip(x), €t l'aggregato dei valori di xp{x) corrispondenti ai 

 punti di A. 



Assegnato arbitrariamente un x^> 0 , si può determinare un aggregato S 

 di segmenti di misura totale compresa fra H e H -j- % , contenente nel suo 

 interno €i . Se x 0 è un punto di A , il valore corrispondente xp{x^) di xp(x) 

 sarà interno a qualche segmento di S e, per la continuità di xp , si potrà 

 determinare un intervallo contenente x 0 nel suo interno e tale che ai punti 

 di esso corrispondano solo valori di xp(x) interni a quel segmento di S. Per 

 tal modo si verrà a rinchiudere A dentro un aggregato S di segmenti ai 

 cui punti corrispondono solo valori di xp(x) interni ad S; e riunendo con- 

 venientemente in un unico più segmenti di tale aggregato quando si sovrap- 

 pongano parzialmente, o totalmente, od abbiano un estremo comune, si potrà 

 supporre che questo aggregato consti di una infinità numerabile di segmenti 

 non aventi punti comuni. Gli estremi dei segmenti di S appartengono a B e a C . 



Si supponga scomposto l' intervallo a ... b in una somma qualsiasi di 

 segmenti A: la somma degli incrementi di xp nei segmenti di questo aggre- 

 gato è in valore assoluto = K : ma l'aggregato dei valori di xp corrispon- 

 denti a punti di S ha misura < H -j- % e tal misura è d'altronde maggiore 

 o uguale al valore assoluto della somma degli incrementi di xp nei segmenti 

 di S od in qualsiasi aggregato di segmenti contenuto in S: dunque anche 

 il valore assoluto di questa somma è •< H -j- % . Se quindi si sopprime in A 

 un aggregato di segmenti <r, contenuti in S , e tali che A — a sia ancora 

 un aggregato di segmenti, il valore assoluto della somma degli incrementi 

 di xp nei segmenti di A — a è, qualunque sia a, >■ K — H — % . 



In S potrà esser contenuta una parte di C ; il ragionamento che segue 

 mostrerà che questa parte non può estendersi a tutto C : in ogni modo si 

 chiami C la parte di C esterna ad S, ammettendo, al bisogno ch'essa possa 

 esser nulla. 



Si supponga ora fissata una numerazione dei segmenti di S , ed i seg- 

 menti così numerati si chiamino s x ', S 2 , ... 



Si rinchiuda allora C in un aggregato T Tll di segmenti non aventi fra 

 loro punti comuni e aventi comuni con s, al più estiemi, e di misura totale 

 <C^i, ove è un numero che si può assegnare arbitrariamente e di cui 

 ci riserviamo di disporre. Vogliamo dimostrare che in T r ,, è contenuto qualche 

 segmento tale che, detta Ci la sua lunghezza, il valore assoluto della somma 

 degli incrementi di xp{x) nei segmenti che si ottengono sopprimendo in 

 esso un aggregato qualsiasi (che può essere nullo) di segmenti contenuti 



in S , sia sempre >(K — H — x — e) — . 



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