Consideriamo perciò l'aggregato S-j-Ty,,: qualora avvenisse ch'esso ri- 

 copra tutto l'intervallo a... b. lo si pensi ridotto ad un aggregato semplice 

 di segmenti senza parti comuni e di cui sia parte l'aggregato T r ,, ; si potrà 

 considerare questo come l'aggregato A delle linee precedenti. Se in questo 

 aggregato si pensano quindi soppressi i segmenti (contenuti in S) esterni ai 

 segmenti di T r , ed un aggregato arbitrario e, di altri segmenti contenuti 

 in S, il valore assoluto della somma degli incrementi di xp nei segmenti 

 di T Tll — o"i è, qualunque sia (eventualmente anche nullo), >• K — H — % 

 (>0 perchè H << K e quindi, per % sufficientemente piccolo, H-f-X<CK)- 

 Per unità di linguaggio con quanto segue, potremo, a maggior ragione, asse- 

 rire che il valore assoluto di tal somma è >K — H — x — s e si potranno 

 chiamare, nella presente ipotesi, t i segmenti di T r ,, e T T| , l'aggregato T 7]l 

 medesimo. 



Se invece S-f-T Tll non ricopre tutto l'intervallo a...b, si consideri 

 l'aggregato U dei segmenti senza punti comuni che contiene tutti e soli i 

 punti di S-j-Tv,,, e si pensino numerati in un modo qualsiasi questi seg- 

 menti, e quindi i loro estremi destri. Ciascuno di questi estremi appartiene a B. 



Assegnato arbitrariamente un f , ad ogni punto x di B si può far cor- 

 rispondere un intervallo x ... x -j- h(h "j> 0) massimo tale che \ip(x-\-h) — 



— ip (x) ! * a h '■ ^ P"nto x -f- A non apparterrà a B perchè, qualora 

 vi appartenesse gli corrisponderebbe un hi > 0 tale che \xp(x -f- h -f- A,) — 

 r- f(x + A)[ <. _^ hi e sarebbe | ip(x + h x ) — tp{x) | <.] tfj(x -f- ^ + 

 + A, ) — xp{x -f A) | -f- | xp{x + A) — ip(x) ; < fzTà {h + hi)'- f intervallo 



x ... x -\- h -\- h l dovrebbe quindi sostituirsi a # ... x -f- A . È quanto dire 

 che ciascun punto x -{- h è interno a un segmento di U. 



Ciò posto sia Xi il primo estremo destro di segmenti di U nella nume- 

 razione dianzi supposta, A, il corrispondente valore di A, secondo la prece- 

 dente definizione: si chiami /, il segmento x x ...#r-f- Ai; se inoltre l'estremo 

 x x + A, è interno ad un segmento «i ... di T^, («j -< a?, -j- Ai <C A) si 

 chiami il segmento x t -j- ^1 ... Sia poi ^ 2 il primo estremo destro di 

 segmenti di U che nella supposta numerazione segue x x e che è esterno a 

 #1 ... Xi -)- Aj (quindi anche esterno o estremo a 0\ ... sia A a il massimo 



valore di A per cui j il>(x> -f- A) — ip{x 2 ) 1 — 1/ a % e ^ segmento ,r 2 ... ^ 2 + A 2 



non ha punti comuni con x x ... x v -f- Ai (è certo A 2 >> 0). Si chiami U il 

 segmento x 2 ... # 2 -j- A 2 e, se x 2 -j- ^2 è interno all'intervallo a 2 ... i? 2 di T fll , 

 si chiami t s il segmento x 2 -{- h 2 ... fo. Analoga operazione si ripeta per 

 l'estremo destro di segmenti di U, primo, nella supposta numerazione, fra 

 quelli esterni a x l ...x l -}-h l , x 2 -.-x 2 -\-h 2 , chiedendo clie il corrispondente 



