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segmento x» •■• x 3 -\- h 3 = l 3 non abbia punti comuni coi segmenti precedenti 

 e così via. Si chiami L l'aggregato dei segmenti l ; si chiamino poi segmenti 

 t, oltre quelli or ora definiti, ancora tutti i segmenti di T Xl completamente 

 esterni ai segmenti l e si chiami l'aggregato dei segmenti t: L'aggre- 

 gato S -f- L -j- ricopre interamente a ... b; si può quindi ripetere per 

 esso l'osservazione fatta poco fa, nell'ipotesi che S-j-T-^, ricoprisse a ... b 

 e considerarlo cioè come l'aggregato A del principio: si conclude che il va- 

 lore assoluto della somma degli incrementi di xp(x) nei segmenti / e in quelli 

 dell'aggregato L -j- T-^ — <x, ottenuto sopprimendo in L -f- un aggregato 

 qualunque e, di segmenti contenuti in S è >K — H — %. Questo valore 

 assoluto non può che accrescersi se a qualcuno degli incrementi addendi si 

 sostituisce il suo valore assoluto; ora la somma dei valori assoluti degli 

 incrementi di xp(x) nei segmenti l è 



<t- ì - y k<* 



b — a *t 



poiché y_ li < b — a; quindi il valore assoluto della somma degli incrementi 

 di xp{x) nei segmenti di T^, — Ci — e a più forte ragione la somma dei 

 valori assoluti delle somme formate ciascuna con quelli di tali incrementi 

 che appartengono a segmenti di uno stesso t — è >> K — H — % — e ('). 

 Sia rf la misura totale di T^, (rj <. ->j,) ; fra i segmenti t dovrà esservene 

 qualcuno tale che, detta Ci la lunghezza dell' intervallo, il valore assoluto 

 della somma degli incrementi di xp(x) nei segmenti contenuti in esso ed 

 esterni a a x è, qualunque sia ( 2 ), 



> J K - H - z -^-éS > \K — E — x ~ s \ ~ • 



7] rj l 



Si chiami t x un segmento per cui questo fatto si verifichi. 



Si può ripetere sopra t x il ragionamento ora fatto per il segmento a ... b, 

 con poche modificazioni; si costruirà cioè un aggregato di segmenti T T , di 

 misura totale ^ 2 <C Ci , contenenti nel loro interno la parte di C contenuta 

 in t, e non aventi fra loro punti comuni, ed aventi al più estremi comuni 

 con s 2 , e, scegliendo il numero f£i a far l' ufficio di e , si concluderà esistere 



< ') Se cioè, per ciascun segmento t esistesse un a, contenuto in esso per cui questa 

 disuguaglianza non fosse soddisfatta quando si considerano gli incrementi nei soli segmenti 

 di t — Ci:, si osservi che i segmenti t sono esterni tutti l'uno all'altro, e si consideri quindi 

 l'aggregato di segmenti ottenuto sopprimendo da T\ } la somma di questi aggregati <r, 

 contenuti nei singoli t; in questo aggregato non potrebbe la somma di incrementi di cui 

 sopra essere in valore assoluto > K H — x — 6 • 



( 2 ) Per la continuità rp{x) la misura di T' Tli e quindi quella di T- r)i non potrebbe 

 dunque esser nulla: non potrebbe cioè mancare l'aggregato C. 



