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Col crescere indefinito di i i segmenti r É , tutti interni l'uno all'altro 

 e di lunghezze & tendenti a 0 (£ { < ■>;,• < rf) tendono ad un punto limite P, 

 interno a tutti e il detto rapporto incrementale tende a oo : nel punto P è 

 dunque infinita almeno una derivata di xp{x) . Ed il punto P non apparterrà 

 ad À, perchè ciascun segmento x\ non contiene punti di s x , si , ... , Si e 

 quindi nessun punto di A appartiene a tutti i segmenti r, . 



Evidentemente non il solo punto P ottenuto con una determinata scelta 

 dei segmenti t, sarà in tali condizioni, perchè in a ... b si potranno deter- 

 minare segmenti parziali, non contenenti P e soddisfacenti alle ipotesi della 

 nostra proposizione, contenenti quindi essi stessi nuovi punti come P. Ma si 

 può aggiungere di più : all' aggregato dei punti come P in cui una derivata 

 di ip(x) è infinita deve corrispondere un aggregato di valori di xp(x) di 

 misura >. K — H ; infatti quando un aggregato di tali punti fosse noto, 

 e l'aggregato dei valori corrispondenti di xp(x) avesse misura <K — H, si 

 potrebbe aggiungere tale aggregato di punti P all'aggregato A e si otter- 

 rebbe ancora un aggregato di punti cui corrisponderebbe un aggregato di 

 valori di ip(x) di misura <C K , onde si dovrebbe concludere che, oltre ai 

 punti noti, altri punti in a ... b dovrebbero avere almeno una derivata infinita. 



In particolare questa osservazione ci mostra che i punti dell'intervallo 

 a ... b in cui almeno una derivata è infinita costituiscono un aggregato 

 non numerabile (che anzi ha la potenza del continuo od almeno è incapace 

 di essere ben ordinato). Infatti l'aggregato dei valori corrispondenti di tp(x) 

 ha la potenza del continuo: quindi, facendo corrispondere ad ognuno di 

 questi valori l'aggregato dei punti P in cui tal valore è assunto da ip(x), 

 l'aggregato dei punti P viene a spezzarsi in un insieme di aggregati par- 

 ziali staccati della potenza del continuo (') ( 2 ). 



(') Cfr. la mia Nota Intorno alla teoria degli aggregati, Kendiconti del R. Ist. Lom- 

 bardo (2), 35, 1902. 



( 2 ) La proposizione dimostrata in questo numero merita di essere confrontata con 

 una varietà di proposizioni analoghe note, e che, nella forma esteriore della loro espres- 

 sione più usuale potrebbero parere identiche ad essa, se non talora più espressive. 



È noto anzitutto che una funzione continua che non sia costante in un intervallo 

 a ... b ha ciascuna delle sue derivate non nulla in un aggregato di punti che ha la po- 

 tenza del continuo (V. Dini, Luroth-Schepp, Grundlagen fùr eine Tiri. d. Functionen 

 u. s. w. pp. 96-98. Scheeffer, A età Math. 5, pag. 283. Schoenfiies, Bericht u. Mengenlehre, 

 Jahresher. d. d. Math.-Ver. 8, 1900, pp. 214-215 (in quest'ultimo luogo l'enunciato con- 

 tiene condizioni eccessive)). Se poi tale aggregato ha misura nulla nel senso di Jordan 

 è noto pure che esiste ancora in esso un aggregato parziale della potenza del continuo in 

 cui almeno una derivata diviene infinita (Schoenfiies, 1. c. 171-172): questo enunciato è 

 evidentemente un caso particolare di quello del testo, ma la notevole restrizione che in 

 esso va rilevata sta nel trattarsi di aggregati di misura nulla nel senso di Jordan, mentre 

 noi attribuiamo alle stesse parole il significato ben più largo di Borel-Lebesgue (i nostri 

 aggregati di misura nulla possono p. es. essere densi nell'intervallo totale). A questo 

 riguardo si avvicinerà meglio alla nostra la proposizione dello Scheeffer (1. e. pag. 189) 



