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2. Qualche osservazione complementare merita di essere aggiunta alla 

 precedente proposizione. In essa invero da ipotesi relative al comportamento 

 della derivata superiore a destra (ed analoghe proposizioni si avrebbero pel- 

 le altre funzioni derivate) si conclude solo per l'esistenza di valori infiniti 

 di una indeterminata delle quattro derivate. Una maggior precisione si può 

 evidentemente portare tenendo conto del segno dell'incremento \p(b) — ^'{a): 

 sarà, nei punti P del numero precedente = + 00 una almeno delle deri- 

 vate superiori {a destra o a sinistra) se questo incremento è positivo, 

 sarà — — co una almeno delle derivate inferiori se questo incremento è 

 negativo. 



Si ricordi ancora che in ogni intervallo le quattro derivate hanno lo 

 stesso limite superiore e lo stesso limite inferiore: ciascun punto P sarà 

 quindi punto limite d' un aggregato di punti in cui una qualunque delle 

 quattro derivate prende valori — positivi o negativi a seconda dei due 

 casi — in valore assoluto grandi a piacere. Questa osservazione ci permette 

 di enunciare la precedente proposizione nella forma: l 'aggregato che si ot- 

 tiene per chiusura di C contiene un aggregato di punti in ogni intorno 

 di ciascuno dei quali una derivata determinata (p. es. la medesima deri- 

 vata superiore a destra) diviene grande a piacere positivamente o negati- 

 vamente. Un risultato più esplicito si ottiene quando si supponga H = 0: 

 si potrà dire allora che se la funzione \p{x) ha derivata superiore a destra 

 nulla in ogni punto di a ... b, tolti i punti di un aggregato C di misura 

 nulla ed ha in a...b incremento finito, ogni punto dell'aggregato C è 

 punto limite di una serie di punti dell'aggregato medesimo in cui la detta 

 derivata superiore a destra assume valori assoluti grandi a piacere : perchè 

 un punto di C che non fosse in queste condizioni sarebbe interno ad un 

 intervallo in cui nessuna derivata di ip(x) sarebbe infinita, e quindi ip(x) 

 sarebbe costante e ogni sua derivata nulla. E l'aggregalo dei valori di xp{x) 



che qui, per comodità del confronto, riproduciamo in un caso particolare: « Una funzione 

 « che non sia una costante non può avere la sua derivata superiore a destra (o un'altra 

 "funzione derivata) nulla in tutto l'intervallo a ... b , ad eccezione di un aggregato di 

 «punti i cui punti limiti sono tali che: 1° l'aggregato di quelli nell'intorno di ciascuno 

 « dei quali tal derivata è limitata, ma in valore assoluto >t ha misura nulla nel senso 

 «di Jordan, qualunque sia e; 2° nell'aggregato dei punti nell'intorno di ciascuno dei 

 « quali essa derivata può assumere valori assoluti grandi a piacere, la funzione assume 

 «un aggregato di valori di misura nulla (nel senso di Jordan)». Ora è ben vero che 

 l'aggregato eccezionale dello Scheeffer — pur avendo misura nulla nel senso di Borel- 

 Lebesgue — non ha però misura nulla nel senso di Jordan, avvicinandosi con ciò agli 

 aggregati nostri, senza però rappresentarne il tipo più generale, ma la parte di questo ag- 

 gregato in cui la funzione derivata considerata non è limitata si suppone abbia per cor- 

 rispondente un aggregato di valori della funzione primitiva di misura nulla nel senso di 

 Jordan 



