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2° come una seconda espressione, analoga a (2) per le sue proprietà, 

 ma ben diversa di forma, valga a definire una funzione formata con due fun- 

 zioni date e le cui singolarità sono legate nello stesso modo con quelle delle 

 date; 



3° come, dalle singolarità di una funzione definita da uno sviluppo 



sia possibile, in molti casi, di dedurre immediatamente il luogo delle sin- 

 golarità della funzione definita da 



(3) 



essendo p n (x) un sistema determinato di funzioni analitiche. 



1. Abbiansi due funzioni analitiche (p(t),a(t) aventi singolarità qual- 

 siansi : punti, linee od aree. Se le funzioni sono polidrome, siano fatti fra i 

 luoghi di singolarità tali tagli da introdurre la monodromia: in tale caso, 

 comprenderemo codesti tagli fra i luoghi di singolarità. Sia U l' insieme delle 

 singolarità di <p(f), V l' insieme di quelle di a(t) ; u indichi un punto ge- 

 nerico di U, v un punto generico di V. Togliendo dal piano-sfera su cui 

 si rappresenta la variabile t l'insieme di punti indicato con U, rimanga 

 un'area U'; togliendo V, rimanga un'area V; supporremo U' e V connesse, 

 e contenenti entrambe il punto t = <x>. Veniamo dunque a considerare due 

 rami ad un valore g>(t) ed a(t) di funzioni analitiche, regolari in U' e V 

 rispettivamente, compreso il punto t — oo. 



2. Tracciamo nel piano t una linea l chiusa, finita e semplice, che in- 

 cluda tutto l' insieme U : i punti di l appartengano tutti ad U'. Questa linea 

 si può deformare con continuità fra i seguenti estremi: da una parte, un 

 cerchio (R) di centro arbitrario, p. es. t = 0 , e di raggio R grande a pia- 

 cere; dall'altra, l'insieme delle linee (k) chiuse, semplici, circondanti le varie 

 parti staccate U t - di U, e prossime al contorno di U* tanto quanto si vuole ; 

 così, se Uj consta di un punto isolato, (lì) sarà un cerchio avente per centro 

 questo punto e raggio arbitrariamente piccolo. Indichiamo con Uj l'area 

 inclusa dalla l, contorno compreso; con U] ciò che rimane dal piano t dopo 

 tolta Ui; analogamente TJ ( i !} è l'insieme delle aree incluse dalle (li), con- 

 torni compresi, ed U[; 0 ciò che rimane dopo tolto U^) al piano t. Ad ogni 

 punto u di XJi facciamo corrispondere il punto u — v , v essendo un punto 

 generico di V ; quando u descrive Uj , u — v descrive un'area congruente : 

 variando v in V, si ha un complesso di aree che indicheremo complessiva- 

 mente con (U — V)/. Sia infine W/ ciò che rimane dal piano t quando vi 

 si tolga l'area (U — V)/; analoga definizione per W^. 



Sia x un punto di W z ; allora il punto x -f- v ci darà, per ogni v, un 

 punto di JJ[; se infatti così non fosse, x-\-v appartenendo ad Uj, x ap- 

 parterrebbe ad (U — Y)i . 



