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Se l va restringendosi e tendendo alle (li), Wi in corrispondenza andrà 

 dilatandosi ; cioè se x appartiene a Wi , esso appartiene ad ogni "WV dove l' 

 è compresa fra l e le U, ed a fortiori appartiene a W^. 



3. Ciò posto, consideriamo l'espressione 



(4) %) = ^ f 9(0 



3? essendo un punto arbitrariamente preso in una delle parti connesse che 

 costituiscono W x . Per tali determinazioni di x, la linea / non conterrà sin- 

 golarità uè di cp(t), nè di a(t — x) fra i suoi punti; l'espressione (4) rap- 

 presenta pertanto un ramo ad un valore di funzione analitica, e variando la 

 linea (/) facendola tendere verso , quel ramo di funzione analitica sarà 

 rappresentato in un'area connessa sempre maggiore e tendente ad una delle 

 parti connesse che costituiscono W^. L'espressione della funzione anali- 

 tica X(x) si può fare coincidere con 



(5) X{x) = i Zj {lì) <P(t) <t -*) dt - 



Se accade che sia un'area connessa, la (5) rappresenterà in 



tutta W { u) una funzione analitica le cui singolarità o linee di discontinuità 

 saranno esclusivamente nell'area (U — V)^ . 



In particolare, se tanto l'insieme U delle singolarità di <p(t) come 

 quello V delle singolarità di a(t) constano di punti separati u- t e Vj rispet- 

 tivamente, e le funzioni g>(t) ed a(t) sono uniformi, la X(x) sarà uniforme, 

 coi soli punti singolari Ui — Vj. Se le (p(t) ed a(t) non sono uniformi, ma 

 occorre tracciare dei tagli Ui ... u h , vj ... v u per stabilire la monodromia di 

 un ramo di ciascuna di queste funzioni, anche X(x) sarà in generale uni- 

 forme, e ai tagli ora accennati corrisponderanno tagli Ui — Vj ... Ui — v k 

 e iti — Vj ... u h — Vj . 



4. Poiché tanto U' che V contengono il punto all' infinito del piano-sfera, 

 lo stesso sarà evidentemente di Wj; perciò, per \x\ abbastanza grande, la X(x) 

 sarà sviluppabile in serie di potenze intere negative di x, mentre per \t\ ab- 

 bastanza grande, si ha 



a(0 = y-^- , »(/) = yA ; 



precisamente il primo di questi sviluppi vale per \(.\^> r , dove r è il mas- 

 simo modulo dei punti v; il secondo per \t\^> r' , essendo r' il massimo mo- 

 dulo dei punti u. Si prenda come linea l il cerchio (R), facendosi R>r'; 

 indi si prenda 



\x\>K + r. 



