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Si avrà: 



ed essendo |#| > B -{- f > / -f- r , sarà \t — z\^> r. Perciò la 



serie (6) si può sviluppare per le potenze decrescenti di x, dando lo sviluppo 



— %) = - f. («o P - va,., P- 1 + « v _ 2 f'" 2 h (- 1)* a,) 



assolutamente ed uniformemente convergente per tutti i punti t del cerchio R 

 e sotto la posta condizione \x\^> R -\~ r. Sostituendo in (4) e integrando 

 termine a termine, si ottiene: 



( 7 ) w = - f k " ~ v aì + ;• ' ± ( ~ 1)v ^ *° , 



e questo sviluppo, valido per l'intorno di x — oo, serve a definire mediante 

 la continuazione analitica in tutta l'area , un ramo ad un valore di 

 funzione analitica, le cui singolarità non possono trovarsi che nei punti 

 di (U — V)(^). Nel caso che le singolarità di a(t) e <p{t) siano punti iso- 

 lati, Ui e vj rispettivamente, e le funzioni siano uniformi, la X(x) dà, colla 

 continuazione analitica, una funzione pure uniforme e che può avere singo- 

 larità solo nei punti m — vy. questo risultato contiene quello dell' Hurwitz 

 come caso particolare. 



5. Possiamo ora ottenere una formula che lega in modo analogo due fun- 

 zioni date, in guisa cioè che le singolarità della funzione risultante dipen- 

 dano colla stessa legge dianzi indicata da quelle delle funzioni componenti, 

 mentre fra i coefficienti di questo nuovo sviluppo e quelli della (7) si pre- 

 senta una correlazione notevole: quella stessa che ha luogo fra lo sviluppo 

 binomiale per esponente intero positivo e quello per esponente intero nega- 

 tivo. A questo effetto, sia a{t) una funzione definita come precedentemente ; 

 sia (p(t) una funzione o ramo di funzione analitica data regolare entro una 

 stella IT di vertice t — Q] <p(t) ammetterà dunque, nell'intorno di 1 = 0, 

 uno sviluppo 



(8) <p{t) = TKr. 



Indichiamo con U l'insieme dei punti posti al contorno o all'esterno 

 della stella U'. Infine supponiamo che l' insieme V dei punti singolari v 

 di a(t) sia tutto interno ad U'. 



Descriviamo una liuea l semplice, chiusa, tutta contenuta entro U', 

 circondante il punto ( = 0 e racchiudente l' insieme V : sia XJ[ l'area chiusa 

 da l, Uz l'insieme dei punti esterni e sul contorno di l. 



