Per ogni punto u di U; , costruiamo di ogni punto v di V il corrispon- 

 dente punto u — v ; l' insieme di questi punti costituirà un'area — V, e 

 tolta questa dal piano della variabile, resterà un'area W t , in cui, per le 

 ipotesi, è certamente contenuto il punto zero. Sia X; la parte semplicemente 

 connessa di W t che contiene il punto zero; quando la linea l si deforma 

 con continuità, avvicinandosi al contorno della stella U', si deformerà cor- 

 rispondentemente, ampliandosi, anche l'area X^ , in guisa che se l è incluso 

 in li, anche X; fa parte di Xj, . Fissiamo una posizione di l, sia g la mi- 

 nima distanza di l dai punti di V, e descriviamo il cerchio (g) di centro 

 zero e raggio g. 



Ciò posto, consideriamo l'espressione 



(9) X(x) = ^-j^<p(l)a(l-x)clt. 



Per la scelta della linea d' integrazione e per essere preso x entro Wi , le 

 singolarità di a[t — x) sono i punti t = x-\-v, che cadono tutti entro Uj. 

 Al contorno l, cp(t) ed a(t — x) sono prive di singolarità, e pertanto X(x) 

 rappresenta entro X ? un ramo ad un valore di funzione analitica, continua- 

 bile analiticamente in tutta la stella X di vertice x = 0 cui tende X t 

 quando tende ad U'. Ma, fatto \x\<Cq. si può sviluppare a(t — x) collo 

 sviluppo di Taylor 



— = £ — f « M (t) 



1=0 v • 



e questo convergerà uniformemente per tutti i valori di t su l e di x entro (g). 

 Si potrà quindi integrare termine a termine, e verrà così lo sviluppo di X{x) 

 in serie di potenze di x, valido entro (g): 



(10) x(x) = f_g,x- , 9, = ^- } f <p(t)« M (t)dt. 



i=o ani V !»/(|) 



La serie (10) è dedotta dalla (8) mediante un'operazione distributiva, 

 appartenente al gruppo permutabile colla derivazione, nel modo stesso della (2), 

 e la funzione analitica che essa definisce non può avere le sue singolarità 

 fuori dei posti u — v. Se, in particolare, l'insieme delle singolarità U consta 

 di un numero finito di aree semplicemente connesse finite, escludenti il 

 punto t = 0 , e più particolarmente ancora se consta di punti isolati, e se 

 in TT e V, ^p(^) ed a(t) sono uniformi e <y(co) = 0 , la X(x) sarà una fun- 

 zione uniforme che coincide all'infuori del segno, con quella definita al § 3. 



6. La formula che si è annunciata al principio del § 5 per porla in 

 riscontro colla (2), si deduce facilmente dalla (10). Supponiamo che il mas- 



