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pezzi) racchiusa da l ; sia u un punto generico di Uj o del contorno. Ad 

 ogni punto ìi, la relazione 



(14) tt{u,x) = Q 



fa corrispondere un sistema di punti x che, quando u descrive U; ed il con- 

 torno, descrivono nel piano x un sistema di aree che indicheremo con V ; . 

 Se la linea l si deforma, restringendosi, e tendendo ad un sistema di p 

 cerchi («,■) di centri m e di raggi piccoli a piacere, varieranno in corrispon- 

 denza le aree Vi , tendendo ad un sistema di aree Vi ; sia X z ciò che rimane 

 dal piano x togliendovi Vi, X* ciò che rimane togliendovi Vi; è chiaro che 

 X ( è compreso in X,- , mentre da Xj sono esclusi, in generale con aree piccole 

 a piacere, i punti radici delle equazioni 



(15) n{ui,x) = 0, (i=l,2,...p). 

 Consideriamo ora l' integrale, in cui l è percorsa nel senso positivo : 



de) ijTrtiw*..)^ 



Per ogni punto x di X t , non cade alcuna singolarità di a(t , x) sulla 

 linea l nè nel campo TJz da essa racchiuso, poiché se u fosse una tale sin- 

 golarità, x sarebbe radice della (14), cioè apparterrebbe a V%. Perciò, per x 

 in Xj, ^integrale (16) è uguale a 



(17) Kz) = è- ; 1. f Mt)a{t,x)dt, 



ÙTII i=i J(Ui) 



e se i punti radici delle (15) sono separati, l(x) è una funzione analitica, 

 rappresentata da (16) entro X z e da (17) entro tutto Xj. 



Ciò posto, abbiasi per a(t , x) uno sviluppo in serie di potenze di t 



00 



(18) a(t ,x) = ^u^x)r; 



le cc^(x) sono funzioni analitiche determinate ed il raggio di convergenza 

 dello sviluppo è, in generale, funzione di x: ad un raggio di convergenza 

 superiore ad un numero positivo c corrisponde un campo K c nel piano x, 

 e per c' > c, R C ' è contenuto in K c . Per un dato t , \t |< c e per x in E c , 

 la serie (18) converge uniformemente ( x ). 



(!) V. la mia Memoria: Sui sistemi di funzioni analitiche. Ann. di Mat., S. II, 

 T. XII. 



