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e in virtù della (1)': 



(2) lim Y(x , y) = 0 , lim Y(sc , y) ='^-2g>i(s 0 ). 



p'=S, p=So 



Adunque la funzione armonica Y(x , y) è nulla nei punti di <r'; sicché 

 dY 



la -j^ , calcolata dalla parte di <s\ sarà nulla in tutti i punti di C , e, in 



dY 



forza di un noto teorema di Liapounoff, sarà — = 0 anche dalla parte di er. 



da 



Ne segue allora che la funzione Y(x , y) è costante in tutto il campo <r, 

 e, in virtù della seconda delle (2), cp^s) = cost. 



3. Premesso ciò, osserveremo che i risultati del Fredholm (') ci dànno 



che la condizione necessaria e sufficiente, affinchè l'equazione (1) ammetta 

 una soluzione, è che, per la funzione data ip(s)> si abbia: 



(3) £tp(s) 5M 



s) ds = 0, 



dove ^i(s) è una certa funzione finita e continua, che dipende dalla furi- 

 li lg >"o 

 zione — f — . 

 dn 



Supposto adunque che la ip(s) verifichi la (3) e che (p(s) sia la corri- 

 spondente soluzione finita e continua della (1), si consideri il doppio strato 

 lineare : 



(4) V( ,,, ) = I^_fc^),, 



Si ha: 



lim Y(x , y) = 9 ( 8o ) + \ f <p(s) ds = ip(s 0 ) . 

 p'=s a ti J c a<i 



Quindi, nel caso in cui la funzione arbitraria xp(s) verifica la (3), la 

 corrispondente soluzione del problema di Dirìchlet, per l'area infinita a', 

 si può rappresentare mediante la (4). 



4. Nel caso in cui la funzione data ip(s) non verifica la (3), indicando 

 con r[ il segmento variabile, che congiunge un punto fisso qualsiasi p in- 

 terno a a con un punto variabile s di C , si può determinare una costante A 

 in modo che sia: 



(3)' jjxp(s) - A \ogr' 0 [ «P»(«) ds = 0, 



a meno che non si avesse : 



fjgr' 0 . ^(s) ds = Q. 



(i) Vedi (F)„, pag. 378. 



