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Kisulta anche qui dalle (2), (3) della (L) per — indicando con 

 a , b , c tre costanti arbitrarie, 



(in tutto S) u== a , v = b , w = c. 



6. Siano u(a , fi) , y(a , fi) , io(a , fi) tre funzioni finite e continue dei 

 punti di a, date ad arbitrio. Si consideri il sistema di equazioni funzionali ('): 



- u{a 0 , /S 0 ) = cp(a 0 , /S 0 ) - ^ )X',(« , /S| «„ , /S 0 ) . <p(« , /S) + 



+ t;(« , /s ; «o , /s 0 ) . v(« , /s) + z;(« , /s ; « 0 , /s 0 ) . /S)j ^. 



- y(«» , /?o) = , /So) - j X?(« , /s|«o , /?<>) • 5P(« + " ( 



con <p(a , fi) , i//(a , fi) , , /?) funzioni incognite. Questo sistema di equa- 

 zioni è tale che il corrispondente sistema omogeneo : 



^- nx;(«,/S;a 0 ,/S 0 J^(«,/S)-f- 



+ Y;(« , /S ; « 0 , /S 0 ) f . t//,(« , /S) + ••• [da , 



^ Jj xy(« , ; «o , /Sol- , /?)+ - ( rftf , 



ammette la soluzione evidente <p y {a , fi) = ri , ^(a , /S) = è , , /?) = c , 

 con a,b,c costanti arbitrarie; di modo che il sistema (6) in generale 

 non ammette soluzione alcuna ( 2 ). 



Dimostriamo anzitutto che qualunque soluzione delle (6)' deve neces- 

 sariamente essere costante. Infatti formino le funzioni finite e continue 

 y^a , fi) , xp^cc,^) , %i(«,/S) una soluzione del sistema (6)'. Si considerino 

 le espressioni : 



*i<* >^*) = ^[ • sp»(« . /») + Y - V».(« . + zi • , ÀI ^ , 



^^^)^J^)X^ 9 p 1 («,/S) + "-(^, 



( 1 ) Cfr. le equazioni (11) della (L) e l'equazione (1) dell'Art. I. 



( 2 ) Vedi (F)„ pag. 378, 379. 



0 = ^(«o , Ao) — ■ 



(6)' 



0 = ^i(«o , fio) 



