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Posto po =3 («o , /5 0 ), si ha, in virtù delle (8) della (L), 

 lÌm<P,(tf,y,*) = — yi (a 0 ,/?o)+sr- fjX' 9 (a,/? ; «o, /?<>)• 9>i(«, /?) + -( ^, 



X\mQ> x {x,y,ì)= 9l (a 0 , /9 0 ) + — hx' 0 (a,/J ; a 0 ,ft>) • 9>i(«, + ^, 



e quindi, in forza delle (6)', 



( lim<P 1 («,^,^)==0 , \nn.9 l (x ì y,g) = Q , limX,(^, y,g) = 0; 

 (8) ) p'-p° p'=p° p'—p« 



ì lim<P 1 (^,y J *) = 2gì I (a 0 ,/So) , lim ^(.r, ?/,£) = 2 ^(«o,/? 0 ),... 



Adunque le funzioni Q> x {x ,y , s) , W^x ,y,g), X^x ,y,g), considerate 

 come funzioni dei punti di S', sono integrali delle equazioni (1) della (L) 

 e nei punti di <r prendono valori nulli; sicché, in forza del 1° risultato al 

 § 5, si ha: 



(in tutto S') <P,(# , y , g) = Viix , y , e) = X,(x , y , *) s= 0 ; 



e quindi le corrispondenti espressioni (9) della (L): 



Pi(#,y,s)o , Qi(#,y,*)o , Bi(à?,y,.*) 0 



saranno nulle qualunque sia il punto ^ 0 — («o , A>) di e e qualunque sia 

 il punto p' = (x,y,g) di S'. Avremo dunque : 



lim Pi(«r , y , g) 0 = lim Qi(# ,y,g) 0 = lim Rj(^ , y , £)<, = 0''; 



/=/>, p'=Po 



e, in virtù dell'ultimo teorema al § 3 della (L), 



lim Pi(a? , y , <?)<> = lim Q,(^r , y , £) 0 = lim R^ , y , s) 0 = 0 . 



p=Po p—fo P=P° 



Queste espressioni rappresentano le X g , Y„ , Z<j , corrispondenti agli inte- 

 grali (7) delle equazioni (1) della (L), considerati come funzioni dei punti 

 (x , y , g) del campo finito S ; per cui risulterà, in forza del 2° risultato 

 al § 5, 



(in tutto S) O x {x , y, g) = 2a , *Pi(x , y , s) = 2b , X x {x , y , &) = 2c , 



con a,b,c costanti arbitrarie; e quindi, in causa delle (8), 



9,(a /S) = a ; Vi(« , ì) = b , , Z 3 ) = <? • 



Adunque le equazioni omogenee (6/ non ammettono alcuna altra soluzione, 

 all' infuori di quella già segnalata. 



