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7. Premesso ciò, osserveremo che i risultati del Predholm sulle equa- 

 zioni funzionali ci dànno che la condizione necessaria e sufficiente, affinchè 

 il sistema di equazioni (6) ammetta una, soluzione, è che le funzioni date 

 u(a , /S) , v(a , /?) , w{a , /?) soddisfino alla condizione : 



(9) ] «(« , ?) ■ . Z 3 ) + y (" • /*) ^(» , i?) + , /?) . P)\ d« = 0, 



dove *Pi(a , /?) , *P[(a , /?) , (a , /?) sowo una tema di funzioni finite e 

 continue, dipendenti dalle funzioni X^(a , fi ; « 0 - Po) , "^(a,/? ; a 0 ,/?„) , ... ; 



x;'(« , 0 ;«„,#>) , ... ; , /s ; «„ , /?„) , •••• 



Supposto adunque che le funzioni date w(a , /?) , y(« , /S) , ^(a , /?) sod- 

 disfino alla condizione (9) e che (p(a , /?) , , /S) , %(a , /?) siano le corri- 

 spondenti funzioni finite e continue che soddisfano al sistema (6), si consi- 

 derino le funzioni: 



Esse soddisfano alle equazioni (1) della (L) e ci dànno, in virtù delle 

 (8) della (L) e delle equazioni (6), 



lim u{x , y , s) = — 5p(« 0 , #>) + 



Quindi le funzioni u(x , y , z) , v(x , y , s) , w(x ,y,z), date dalle (10), 



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rappresentano nel campo S' ^er A ^> — - gli integrali delle equazioni 



dell' equilibrio, corrispondenti ai valori arbitrariamente dati su g: u(a,{ì), 

 v(a , §) , w{cc , /S). 



8. Nel caso in cui le funzioni date u(a , §) , v{a , /?) , w(a , /?) non sod- 

 disfano alla condizione (9), indicando con r' il segmento variabile, che con- 

 giunge un punto fisso p qualsiasi dell' interno di S con i punti (x ,y , z) del 

 campo S' (quelli (a , /?) di a inclusi), e ponendo : 



(10) 



u(x,y, z) = 



lim v(x , y , z) = v(a 0 , p 0 ) 

 p'=P' 



ui{x ,y,z) = ^ 



k 



2(1 + k) ~àx'' 



2(1 + k) ~òx ly 1 



k ~ò 2 r' 



Wi{% ,y,z) = — 



k r 



2(1 + A) ~òx~òz ' 



