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si può determinare una costante A. in modo che si abbia: 



(11) Jj_W(a , /?) — A . Ui(tx~, /?){ ^(« , /?) + )v(a , /?) - A . v ,(« , |ff)(«P[(a , + 



+ Jm>(« ,/?)— A. w>,(a , /?)( *»('(« , rf<r = 0 , 



a meno che non sia: 



f ) Ml (« , /?) ^(a , /?) + , /?) , /?) + , /?) «p;'(« , p)\ da = 0 . 



Ma in questo caso le funzioni y,\(x , y, z) , yi(^? , y, z) , , y, z), che nei 

 punti del campo infinito S' soddisfano alle equazioni dell'equilibrio, verifi- 

 cherebbero la condizione (9); e quindi dovrebbero potersi rappresentare per 

 mezzo delle forinole (10). Ora è facile vedere che ciò non è possibile; infatti 

 basterà osservare che le funzioni rappresentabili mediante le (10) a distanza 



infinita divengono infinitesime come mentre p. es. la Ui(x,y,g) a distanza 

 infinita, nei punti del piano normale all'asse delle x passante per p , diventa 

 infinitesima come ~. Ne concludiamo che il coefficiente di A nella equa- 

 zione (11) è sempre diverso da zero. 



Determinata la costante A per mezzo della (11), e posto: 



( «(«,/?) = u(cc,p) — A. «,(«,/?), 



(12) | v(a , p) = v(cc, /9) — A . ■»,(«■■//»)■, 

 ( w{a , /?) == , /S) — A . , /?) , 



si considerino le equazioni funzionali: 



«(«o , /?<>) = 5p(a 0 , /?„) — }X' 0 (« , p ; « 0 , p 0 ) . g>(a , p) -f - ( da , 



v(a 0 , p 0 ) = yj(oc 0 , 0 O ) — JjX?(« ,P;«o,Po). 5P(« ,/?)+"■ 1 rfo" , ' 



(6)' 



In forza della (11) queste equazioni ammettono una soluzione y,(a , p) , tp(a , p) , 

 x{cc , P); e posto : 



, y , 2) = A . Ui(x , 2/ , *) -f- 



+ . sp(« , /?) + n ■ <K« > /?) + % ■ *(« , /?)( da, 



+ ^ JV" • </>(« , /*) + *J . v(« , /?) + ZS • z(« , /?)! rfff, 



