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una superficie generica del sistema trasformante la varietà W in W. Ri- 

 guardo a questi gradi di multiplicità può sempre supporsi che sia 



h > ( t > i 3 > % A _> ... >. &' T . 



In fine si indichi con d h il numero totale dei punti d'appoggio di una curva 

 con tutte le altre curve fondamentali i cui gradi di multiplicità sono 

 inferiori ad i ]{ ; e con ó k quello dei punti d'appoggio della medesima curva 

 con tutte le successive. 



Ad ogni curva fondamentale R ft di W corrisponde in W una super- 

 ficie R',. contenente un fascio, di genere qu » costituito dalle curve razionali 

 corrispondenti ai punti di R ft . Quindi il genere aritmetico di questa super- 

 ficie è — Q h . Inoltre il fascio anzidetto possiede d h curve, ciascuna spezzan- 

 tesi in due, aventi un punto comune, ed oltre queste non contiene nessun'altra 

 curva dotata di un punto doppio. Perciò l'invariante di Castelnuovo-Enriques 

 della medesima superficie RJ. è: 



— Squ — 4 + 9 . 



Ad ogni punto fondamentale T h di W corrisponde in W una superficie 

 razionale T h , dotata di curve eccezionali, corrispondenti ai punti infi- 



nitamente vicini a T h e appartenenti ai rami delle curve R ft passanti per T h . 

 Quindi il genere aritmetico di questa superficie TJ, è 0 , e l'invariante di 

 Castelnuovo-Enriques ad essa relativo è: 



io -y a». 



& 



Come è noto (') la formazione degli invarianti numerici della varietà W 

 per mezzo di un sistema |S| di superficie S, è indipendente dalla scelta del 

 sistema medesimo; perciò può supporsi che questo abbia una posizione ge- 

 nerale rispetto agli elementi di W, che sono fondamentali per la trasforma- 

 zione, come accade p. es. per il sistema delle sezioni spaziali. Se si indica 

 con P il genere aritmetico di una superficie S di un sistema siffatto ; con p 

 il genere dell'intersezione di due qualsivogliano delle sue superficie : con n il 

 numero dei punti comuni a tre delle superficie medesime; e se inoltre P' , 

 p' , ri hanno gli analoghi significati rispetto agli enti corrispondenti del si- 

 stema fS'| che in W corrisponde ad |S|, si ha: 



(1) P' = P , p' — p , ri — n. 



Una superficie del sistema aggiunto ad |S'| si compone di una superficie 

 S„, corrispondente aduna superficie S„ del sistema |S a | aggiunto ad |S|; di 



(') Pannelli, loc. cit. 



