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tutte le superficie E' c , ciascuna contata una sola volta ; e di tutte le super- 

 ficie T h , ciascuna contata due volte ('). 

 Il sistema aggiunto ad |S'| è dunque: 



(2) |s; + yr; ; + 2Xt;,|. 



li h 



2. Ciò premesso, si vuole in primo luogo dimostrare che 4 è un inva- 

 riante assoluto. 



A tale oggetto si ricordi che questo invariante formato per la varietà W, 

 per mezzo del sistema |S|, è definito dalla forinola: 



8J = 8P a — Sì a — 8P + 2p - n — 15 



dove P ,p ,n hanno i significati già loro attribuiti, ed inoltre P n ed Sì a sono 

 il genere aritmetico e l'invariante di Castelnuovo-Enriques di una super- 

 ficie S a . 



Quindi, se per formare l'invariante analogo J' della varietà W si fa 

 uso del sistema trasformato | S' | , si ha : 



SJ' = 8P; — Si' a — 8P' + 2p' — n' — 15 



dove P' ,p' ,n' hanno ancora i significati già loro attribuiti, ed inoltre V a 



ed Sì' a sono il genere aritmetico e l'invariante di Castelnuovo-Enriques di 

 una superficie del sistema (2). 



Dal confronto delle due formole precedenti, segue subito, tenendo conto 



delle (1), che X invarianza assoluta di J rimane dimostrata, se si prova 

 l'eguaglianza: 



(3) 8p;— J2;=8P 0 — %. 



Ora per calcolare la prima di queste due differenze si applichi la for- 

 inola ( 2 ) 



(4) 8P — Sì = 8^Pi - Y.SÌÌ + 2 Y (Fi Fj F*) + JjF,- Fi F,) -f 9 {v — 1) 



relativa alla somma di v superficie F . 



Nel caso attuale in cui questa somma è quella che costituisce una su- 

 perficie del sistema (2), si ha dapprima: 



v == 2tf + t -j- 1 



opperò : 



(5) 9(v — 1) = 18er -f- 9r . 



(») Questa proprietà si dimostra come l'analoga sulle superficie; Enriques, Intorno 

 ai fondamenti della Geometrìa ecc. n. 21. Atti dell'Acc. di Torino, voi. XXXVH. 

 (*) Pannelli, loc. cit., n. 1. 



