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stessa (4) si riduce alla eguaglianza (3), la quale così rimane dimostrata, 

 e quindi, come si è osservato in principio, si può concludere: 



L'invariante J è un invariante assoluto. 



3. Si passi ora a studiare il modo di comportarsi degli altri inva- 

 rianti, rispetto alle trasformazioni birazionali della varietà. 



Si ricordi dapprima, che fra J , J (ì) , J (t) , J l3) hanno luogo le rela- 

 zioni (') : 



8(^«> — J) = — 25 J i2) — 1 1= U™. 



Se J 1 ^ , J{ 2 \ Jf ] sono gli stessi invarianti per la varietà trasformata W r . 

 essendo J un invariante assoluto (n. 2), si ha analogamente: 



— J) = J{ 2) — 25 , — 1 = Uf . 

 Da queste relazioni e dalle precedenti segue: 



(11) 2(J?> — J™) = J«> — J™. 



Ciò premesso, conviene anzitutto esaminare l'invariante J c,) definito 

 dalla forinola ( 2 ) : 



(12) ^ (3) = n a — 3/2 -J- %f — in — 3 



dove Sì è l'invariante di Castelnuovo-Enriques di una superfìcie del sistema 

 |S| , p ed n hanno i significati già loro attribuiti ed n a è il grado del sistema 

 aggiunto | S a | . 



Quindi, facendo uso del sistema |S'| corrispondente ad |S|, si cerchi 

 l'espressione dell'invariante analogo J[ 3) , per la varietà W, dedotta da W 

 mediante una trasformazione birazionale, che abbia in W un sol punto fon- 

 damentale T . 



In questa ipotesi, il sistema aggiunto ad |S'| è |S„ -}- 2T'| , il cui grado è : 



(s; s; sy + 6 (s; s; rj + 12 (s; r i") + 8 (r t t) 



ossia: 



ria + 8 



perchè il grado (SÓSÓS„) del sistema |SÓ| è eguale a quello, n a , di |S a | , e 

 di più (n. 2, c) ed))' si ha: 



(s;sLT') = (s;T r "(r , ) = o , (T'T'T') = i. 



Inoltre, l'invariante Sì' di Castelnuovo-Enriques di una superfìcie S' è eguale 

 a quello Sì di S , poiché, per le ipotesi fatte, sopra la superfìcie S' non si 

 hanno curve eccezionali. Quindi, tenendo presenti le relazioni (1) si trova: 



jf = n a -f- 8 — SSÌ ■+ 6p Mi — 3 



(') Pannelli, loc. cit., n. 4 e 5. 

 ( 2 ) Pannelli, loc. cit., n. 5. 



