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donde, per la (12), segue: 

 epperò : 



1°) In virtù della particolare trasformazione birazionale considerata 

 l'invariante z/ (3> di W aumenta di 8 unità, 



Dalla relazione precedente e dalla (11) si deduce: 



e quindi si ha ancora: 



2°) In virtù della medesima trasformazione, l'invariante J a) di W 

 aumenta di 4 unità. 



L'invariante J (1) di W è definito dalla forinola ('): 



(13) ^(i) = p a _ P _^ + 3jo — 2n — 3 



dove P 3 è il genere aritmetico di una superficie S a , e gli altri simboli hanno 

 significati già stabiliti. 



Quindi, facendo uso del sistema |S'| corrispondente ad [S|, si calcoli 

 l'invariante Ji 11 della varietà W , dedotta da W mediante una trasforma- 

 zione birazionale, che abbia in W un numero a di punti fondamentali 



In questa ipotesi, il sistema aggiunto ad |S'| è |S„ -f~ 2 ^TJ,| , e il ge- 

 li 



nere aritmetico di una sua superficie è ( 2 ) : 



(14) P«-j-X 



dove per lo scopo che qui si ha in mira, è inutile scrivere esplicitamente i 

 termini contenuti in X . 



Come nel caso precedente, è Sì' = Sì . Quindi tenendo presenti le rela- 

 zioni (1), si trova: 



4 1 ) = p a X — P — Sì + -òp — 2n — 3 

 donde, per la (13), segue: 



D'altra parte, per la proprietà 2°), si ha: 

 Jp = j«> + 4<r, 

 Dal confronto di questa eguaglianza con la precedente, si deduce: 

 X = 4ff 



e quindi, in virtù della (14), si conclude: 



3°) Il genere aritmetico di una superficie S« + 2 è P 0 -f-4tf. 



(») Pannelli, loc. cit., n. 4. 

 ( 2 ) Pannelli, loc. cit., n. 1. 



